Espace vectoriel quotient

Enoncés Espaces vectoriels 1 Exercice 6 [ 01685 ] [correction] Les parties de F(R, R) suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels ? Structure d’espace vectoriel Exercice 1 [ 01680 ] [correction] Soit E un R-espace vectoriel. On munit le produit cartésien E × E de l’addition usuelle : (x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y ) et de la multiplication externe par les complexes définie par : (a + i.b).(x, y) = (a.x − b.y, a.y + b.x). Montrer que E × E est alors un C-espace vectoriel. Celui-ci

Travaux Dirigés Mathématiques – S3 Algèbre linéaire & Calcul Matriciel Partie 1 Exercice 3 Exercice 3 L’espace vectoriel considéré dans cet exercice est : E 3 = IR Exercice 3 1) Soit u un vecteur de forme : F1 , u est de la u(x,y,z) avec : 2x  yz 0  z 2x  y Exercice 3 1) Un vecteur u de F peut donc s’écrire : 1 u (x,y,2x  y) On peut décomposer u de la manière suivante : u (x,0,2x)(0,y,y) Donc : u  x(1,0,2) y(0,1,1) xV1

note : Mn ( ! ) : la ! -algèbre des matrices carrées réelles d’ordre n. Mn,1 ( ! ) : le ! -espace vectoriel des matrices à n lignes et à une colonne. Pour une matrice A de Mn ( ! ) , t A est sa matrice transposée, rang ( A) son rang et Tr ( A) sa trace. In : la matrice unité de Mn ( ! ) . S n ( ! ) : le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de Mn ( ! ) . An ( ! ) : le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de Mn ( ! ) . S n + ( ! ) : l’ensemble des matrices positives de

Exo7 Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base Exercice 1 1. Montrer que les vecteurs v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 0, 1) et v3 = (1, 1, 0) forment une base de R3 . Trouver les composantes du vecteur w = (1, 1, 1) dans cette base (v1 , v2 , v3 ). 2. Montrer que les vecteurs v1 = (1, 1, 1), v2 = (−1, 1, 0) et v3 = (1, 0, −1) forment une base de R3 . Trouver les composantes du vecteur e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) et w = (1, 2, −3) dans cette base (v1 , v2 , v3 ). 3.

Famille de vecteurs Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs Famille génératrice Famille libre, famille liée Base d'un espace vectoriel Composantes dans une base Soient E un K -espace vectoriel et F=(e⃗ i)i∈I une famille finie de vecteurs de E. Quitte à réindexer celle-ci, on suppose que les éléments de cette famille sont indexés sur l'ensemble I={1,…,n}. On considère donc une famille F=(e⃗ i)1≤i≤n de vecteurs de E qu'on peut encore écrire F=(e⃗ 1,…,e⃗ n). Dans le cas

des initiatives qu’il a été amené à prendre. *** QUELQUES UTILISATIONS DES PROJECTEURS Notations et objectifs : Dans tout le texte E désigne un R-espace vectoriel de dimension finie n 1. On note id l’endomorphisme identité de E, Mn (R) le R-espace vectoriel des matrices réelles carrées de taille n. Si E1 et E2 sont des sous-espaces vectoriels de E supplémentaires, c’est-à-dire E = E1 ⊕ E2 , on appelle projecteur sur E1 parallèlement à E2 l’endomorphisme p de E qui, à un vecteur x de E se décomposant

18/02/2013 TD 16 : Espace euclidien Rn M P SI:2012−2013 Exercice 1 On se place dans R4 muni du produit scalaire euclidien. 1. Déterminer une base orthogonale du sous-espace vectoriel E engendré par u1 = (1, 0, 0, −1) et u2 = (−1, −1, 1, 1). En déduire une base orthonormale de E . 2. Déterminer le sous-espace vectoriel orthogonal de E , E ⊥ . En déduire une base orthonormale de E ⊥ . a) b) c) Donner une base orthonormale de R4 autre que la base canonique. Quelles sont les coordonnées

écrire : f(v) = x1 * f( e1 ) + x2* f( e2 ); Les données du texte donnent f( e1 ) =[pic] ; f( e2 ) = [pic] ; Avec ces données, on peut écrire : f(v) = x1 * [pic] + x2 * [pic] ; = [pic] Quel est le sous espace Imf ? Les éléments de Imf sont des vecteurs à 3 composantes; ce sont des éléments de R3. Par exemple, par définition de Imf, f(e1 ) est un élément de Imf. De même par définition de Imf, f(e2) est un élément de Imf. Les données du texte donnent

DP - SOUS-ESPACE ENGENDRE PAR UNE FAMILLE DE MATRICES Dans l’espace vectoriel Mn (R) des matrices carrées à coefficients réels, on considère différents sousensembles An de matrices et les sous-espaces V (An ) qu’ils engendrent. La base canonique (Eij )1≤i,j≤n de Mn (R) étant constituée de matrices non inversibles, il est évident que, pour n ≥ 2, le sous-espace engendré par les matrices non inversibles est Mn (R). On rappelle la règle d’opération sur les matrices de la base canonique : Eij Ekℓ = δjk

f(-x)=-f(x). Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E. Notation : l’ensemble des endomorphismes de E se note L(E). Un isomorphisme de E dans F est une application linéaire bijective de E dans F. Propriétés : On dit que les espaces E et F sont isomorphes ; la bijection réciproque f^(-1) est un isomorphisme de F dans E ; 2 e.v. isomorphes sont de même dimension(dim⁡E=dim⁡F). Un automorphisme est un endomorphisme (application linéaire) bijectif de E. Notation : l’ensemble