Espace vectoriel quotient

Dérivation, développements limités Intégration Courbes paramétrées 85 119 139 189 221 Partie 3 Algèbre 10 Algèbre générale 11 Arithmétique 12 Algèbre linéaire 13 Algèbre linéaire en dimension finie 14 Matrices 15 Polynômes 16 Espaces euclidiens Index 239 251 261 277 301 339 361 393 9782100547678-Fresl-Avt.qxd 8/07/10 12:27 Page IV Avant-propos Cet ouvrage s’adresse aux élèves de première année de classes préparatoires scientifiques. Il leur propose

elle n’effectue pas de « sauts », i.e si l’on peut tracer son graphe « sans lever le stylo ». exemple : la fonction affine f (x) = ax + b est dérivable sur R, et f (x) = a pour tout x. 2.2 différentielles f (x) − f (x0 ) , est x − x0 le quotient de deux différences, ∆f = f (x) − f (x0 ) différence des ordonnées des deux points, et ∆x = x − x0 , différence des abscisses. Si x tend vers x0 , ∆f et ∆x deviennent infiniment petits ; ce sont les différentielles df et dx. On a donc pour une

l’origine alors, d’après 1., l’ensemble des solutions de (E) sur ]0; 1[ serait égal à la droite vectorielle Vect(f ) où f est la fonction x . définie par ∀ x ∈ ]0; 1[, f (x) = (1 − x)2 Or, d’après le cours, comme les fonctions x −→ x(x − 1), x −→ 3x et x −→ 1 sont continues sur ]0; 1[ et que la fonction x −→ x(x − 1) ne s’annule pas sur ]0; 1[, l’ensemble des solutions de (E) sur ]0; 1[ est un plan vectoriel. D’où l’absurdité. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 38 Banque épreuve orale de mathématiques session

mesur´es forment une tribu. D´ efinition 1 (Tribu ou σ-alg` ebre). Soit Ω un espace. On note P(Ω) l’ensemble des parties de Ω. Un ensemble A ⊂ P(Ω) est appel´e tribu ou σ-alg` ebre, s’il v´erifie les trois propri´et´es suivantes : 1. φ ∈ A (contient l’ensemble vide) 2. A ∈ A =⇒ Ac ∈ A (stable par compl´ementaire) 3. (An )n≥1 ⊂ A =⇒ n≥1 An ∈ A (stable par union d´enombrable). 14 Le couple (Ω, A) est appel´e un espace mesurable. Exercices : 1. Soit A une tribu de Ω. Montrer que Ω ∈ A et que A est

n→+∞ n→+∞ N, an > 0 (resp. < 0), alors a1n −−−→ +∞ (resp. −∞). n→+∞ 3) Si |an | −−−→ +∞ (en particulier si an −−−→ +∞ ou −∞), alors a1n −−−→ 0. n→+∞ n→+∞ n→+∞ 2) Si an −−−→ 0 et ∃ N, ∀n n→+∞ n→+∞ Suites r´ eelles et complexes 7 ✑ Conse´quence (Quotient) Soient (an ) et (bn ) deux suites ` a valeurs r´eelles avec ∀n bn = 0. 1) Si an −−−→ α ∈ R et bn −−−→ β ∈ R∗ , alors an −−−→ α . bn n→+∞ β n→+∞ n→+∞ a n 2) Si (an ) est born´ee et bn −−−→ ±∞, alors −−−→ 0. bn n→+∞ n→+∞ 3) Si (an ) est minor´ee par

mesurables . . . . . 4.3 Produit de mesures . . . . . . . . . . 4.4 La formule de changement de variable 4.5 Le produit de convolution . . . . . . . Les espaces Lp 5.1 Les d´ finitions . . . . . . . . . . . . e 5.2 Les espaces Lp pour 1 ≤ p ≤ ∞ . . 5.3 L’espace L2 et les espaces de Hilbert 5.4 Le th´ or` me de Radon-Nikodym . . e e 5.5 La dualit´ des espaces Lp . . . . . . e La transform´ e de Fourier e 6.1 D´ finition et propri´ t´ s el´ mentaires e ee ´e 6.2 Injectivit´ et formule d’inversion . . e 6.3

ouvertes par l'ajout d'éléments sémantiques. Appliquer ces concepts et techniques pour la résolution de problèmes reliés à la bio-informatique. Contenu : principe de la recherche d'information. Sélection des documents pertinents. Modèles booléen, vectoriel, probabiliste, logique. Réalisation. Évaluation des performances. Analyses linguistiques, syntaxiques et sémantiques. Recherche d'information sur Internet. Moteurs de recherche. Méthodes axées sur l'exploration. Systèmes de recommandation. Web

. . . . . . . . . e e Pb 27 : Rang et matrices extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pb 28 : Un probl`me sur des rotations vectorielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Pb 29 : Borne inf´rieure et addition parall`le. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Pb 30 : Alg`bre lin´aire dans un espace de polynˆmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e o Pb 31 : Sous groupe engendr´ par deux ´l´ments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ee 3

sur un ensemble de r´els d´fini ` partir e a e e a d’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 : Inversibles dans un anneau quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 : Familles de sous-espaces de mˆme dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 15 : Approximation par convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 : Calcul de la somme des inverses des carr´s par la m´thode des coefficients de e e Fourier. . . .

9) On peut multiplier membre ` membre des ´quivalences ` condition que le nombre de ces relations a e a soit fini et invariable. n f (x) = k=0 (1.10) On cherchera donc un ´quivalent ` une fonction (ou ` une suite) se pr´sentant comme quotient e a a e et produit de fonctions en recherchant un ´quivalent de chacun des facteurs et en les multipliant. e • (1.11) On ne peut pas composer une ´quivalence par une fonction. Si on soup¸onne qu’on obtientrait e c une ´quivalence par