Espace vectoriel topologique

d’exigences pour la e suite du cursus, ` d´gager les points cl´s permettant de structurer le travail pera e e sonnel de l’´tudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Par exemple, e il nous a sembl´ important de ne pas nous limiter aux espaces m´triques de e e fa¸on ` ce que le langage de la topologie g´n´rale ne soit plus un nouvel obstacle c a e e a ` franchir (de plus les topologies non m´trisables arrivent tr`s vite : convere e gence simple, topologies produit, quotient, de Zariski

ℑ) où Ω est un ensemble non vide et ℑ une tribu de parties de Ω, est appelé espace mesurable. Dans le cas où Ω est l’ensemble des résultats possible d’une expérience, un espace mesurable (Ω,ℑ) est appelé espace probabilisé. /* Cette définition ne veut rien dire j’y consens, mesurable ou probabilisable, la différence est bien maigre… */ 1.3. Tribus Boréliennes (de ce brave Borel, Emile de son prénom) : Soit (Ω,d) un espace métrique, Ω non vide. On note ?Ω l’ensemble des parties ouvertes de (Ω,d),

2011/12 Série d'exercices d'analyse fonctionnelle n 4 ◦ Exercice 1 Soit E un espace vectoriel normé. 1) Montrer qu'un ouvert faible est un ouvert fort. 2) Montrer que E = (E, σ(E, E )) . En particulier les ensembles {x ∈ E, f, x < α} où f ∈ E et α ∈ R sont des ouverts faibles. 3) Montrer que si E est de dimension nie alors σ(E, E ) est égale à la topologie associée à la norme de E . Soit E un espace vectoriel normé de dimension innie. Nous allons montrer que la sphère unité S = {x ∈ E, x =

certaine surface (ce parc naturel couvre un espace considérable) ou un certain volume (ce placard occupe un grand espace). Sommaire [masquer] 1 Étymologie 2 Géométrie 3 Physique 4 Mathématiques 5 Théorie de la connaissance 6 Terminologie de Bergson Étymologie[modifier | modifier le code] Le mot vient du latin spatium, qui a deux significations : elle désigne l'arène, les champs de courses mais aussi une durée. En ancien et moyen français, espace signifiait plutôt un laps de temps, une durée

appelle norme sur  n toute application x  x de  n dans   telle que : (i) x  0  x  0 (ii)   IK, x  E, x  ||x (iii) x, y  E 2 x  y  x  y (l’inégalité triangulaire) L’espace  n étant muni de la norme   est dit espace normé. b) Exemples: Sur  l’application valeur absolue x  |x| est une norme. Sur  n les applications   1 : x  |x k | k1 n ,  2 : x  |x k |2  1/2 et k1 n    : x  sup 1  k  n |x k | sont des normes. Remarque:

emploierons dans ce cours et de pr´senter les probl`mes que nous ´tudierons. Nous come e e men¸ons d’abord par de brefs rappels et par des notations et d´finitions c e diverses. 1. D´finitions, notations et rappels. e 1.1. Points et sous-ensembles des espaces euclidiens. R sera le corps des nombres r´els et C sera celui des nombres complexes. Nous travaillerons e la plupart du temps dans Rn et n d´signera toujours la dimension. Les e n points de R seront g´n´ralement not´s x, y, ξ, η ; les coordonn´es

tend à oublier la structure topologique et à réduire les questions à des problèmes essentiellement d'algèbre. En un certain sens, les systèmes dynamiques se situent entre la géométrie, l'analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s'assimile à une loi d'évolution. Les objets étudiés relèvent de l'analyse (équations différentielles par exemple), des probabilités (itération d'une bijection mesurable), ou de la géométrie (espaces homogènes). Le traitement qui

et Intégral I” Wolfgang Bertram 8 décembre 2006 ii Introduction Introduction Le sujet de ce cours est l’étude et l’analyse des fonctions de plusieurs variables, f : Rn → Rm , ou, plus généralement f : V → W , où V et W sont des espaces vectoriels sur R. Pour donner une idée du plan du cours, on peut le diviser en trois parties principales : I. La continuité : Notions de base de la topologie générale. II. Différentiation. III. Eléments d’intégration. Les fonctions que nous allons étudier

Danchin e Ann´e 2009–2010 e 2 Table des mati`res e 1 Un 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 peu de topologie g´n´rale e e D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . e Continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . e Topologie produit (hors-programme) Suites des espaces topologiques . . . Compacit´ . . . . . . . . . . . . . . . e 5 5 7 8 9 10 13 13 14 17 18 20 25 25 28 30 32 33 37 37 37 38 39 40 43 43 44 46 49 53 53 55 56 57 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 10 10 11 11 12 13 Algèbre linéaire élémentaire 3.1 Propriétés des espaces vectoriels 3.2 Applications linéaires . . . . . . . 3.3 Algèbre matriciel . . . . . . . . . . 3.4 Déterminants . . . . . . . . . . . . 3.5 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .