Espace vectoriel topologique

position (i, j). 1.2 Structure vectorielle sur Mn,p (K) Définition (Structure vectorielle sur Mn,p (K)) • Si A, B ∈ Mn,p (K), on appelle somme de A et B, notée A + B, la matrice aij + bij 1 i n. 1 j p • Si A ∈ Mn,p (K) et si λ ∈ K, on appelle multiplication de A par le scalaire λ, notée λA, la matrice λaij 1 i n. 1 j p • Muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire définies ci-dessus, Mn,p (K) est un K-espace vectoriel de dimension finie np. Son vecteur nul

est une fonction continue par morceaux et intégrable sur R. Soit Φ : D’après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, f est continue sur R. ∀f ∈ L , f est continue sur R. 2) Montrons que W (resp. W ∗ ) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel L (resp. L ∗ ). On a déjà W ⊂ L (resp. W ∗ ⊂ L ∗ ). La fonction nulle est dans L (resp. L ∗ ) et 0 = 0 est dans L (resp. L ∗ ). Donc la fonction nulle est dans W (resp. W ∗ ). Soient f et g deux éléments de W (resp. W ∗ ) et λ et

 Université Hassan 1er  Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales. Settat. 2ème année de Sciences Economiques Fiche 2 de T.D de Mathématiques Applications linéaires Module : Méthodes quantitatives III Année universitaire : 2013-2014 Exercice 1 I/ les applications suivantes sont-elles linéaires ? justifier: g : R2R2 , définie par g(x,y) =(2x + y , x -2) h : R2R3 , définie par h(x,y) =(x, |y|, 0) II/  Soit f l’application linéaire de R3 dans R2

Y' + b(x).Y].k + a(x).k'Y = c(x) Le crochet est identiquement nul, donc : et on obtiendra k par une simple quadrature (si tout se passe bien...). Remarquer que l'ensemble des solutions de (h), donc de la forme Y = k.ef(x), constitue un espace vectoriel de dimension 1. Par suite, si y1 et y2 sont des solutions particulières linéairement indépendantes de l'équation complète (e), alors y1 - y2 est solution de (h) et par conséquent, k(y1 - y2), où k est un nombre réel arbitraire, est la solution

produit par un scalaire (R ou C) forme une structure d’un espace vectoriel. Conclusion 2 : Une base de l’espace vectoriel Mp,n est constituée des matrices Aij dont seul l’élément situé à l’intersection de la ligne i et de la colonne j est non nul, et vaut 1. Toute matrice A se décompose d’une façon unique sous la forme A = L’espace vectoriel en question a donc pour dimension le produit np. Exemple (, , , ) est la base de l’espace vectoriel formé de l’ensemble des matrice de dimension (2, 2)

exercices. Les énoncés de ces exercices sont indépendants du chapitre théorique, afin de ne pas le surcharger. Mais les numérotations sont conservées pour garder le parallélisme ! 2°) Calcul vectoriel b. Opérations vectorielles Sortez votre papier millimétré !!! α) Somme de deux vecteurs Premier exercice 1. Tracez un vecteur horizontal de 5, 2 cm de long. Notez le [pic]. 2. Tracez un vecteur vertical, ayant même origine que [pic] , de

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle Collège Ahuntsic ! ! ! Cours : 201-NYC-05! Professeur : Jacques Saint-Germain ! Session : Été 2010 Liste d’exercices pour l’examen 1. Livre : Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, Charron-Parent, Beauchemin 3e édition. Chapitre / Section Obligatoires Supplémentaires % approx. de l’examen 1 Chapitre 1 : Notions de matrices. Addition et multiplication de matrices. Multilplication matricelle. Matrices particulières. 1.1 1.2 1.3 # 1 à 4, 5a)

ai,j bi,j . L’application ( | ) est donc le produit scalaire canonique de Mn (R), pour lequel la base canonique est une base orthonormale. 4. M + tM M − tM M + tM M − tM + avec ∈ Sn (R) et ∈ An (R). Comme 2 2 2 2 An (R) ∩ Sn (R) = {0}, les deux espaces sont suppl´mentaires. Ils sont ´galement orthogonaux car, pour e e A ∈ An (R) et S ∈ Sn (R), Si M ∈ Mn (R), on a M = (A | S) = Tr t AS = −Tr (AS) = −Tr (SA) = −Tr t SA = −(S | A), et donc (A | S) = 0. 5. Si A est une matrice quelconque, la

lin´aire les donn´es sont vues de mani`re abstraite comme un nuage de e e e e points dans un espace vectoriel ; les notions suivantes doivent ˆtre bien comprises e – vecteurs : produits scalaires, d´composition selon une base e – matrices : addition, multiplication, transpos´e, trace e – valeurs et vecteurs propres : d´finition, propri´t´s e ee – m´triques : d´finitions des distances dans un espace vectoriel par une norme, lien e e avec le produit scalaire Attention : les ´tudiants sont suppos´s maˆ

tensorielle, qui n'est pas exhaustive, sans doute, mais qui a pour seul but celui d'introduire le formalisme tensoriel et les résultats dont on fera usage dans les chapitres suivants. Dans le même chapitre sont rappelés aussi des éléments d'analyse vectorielle et de géométrie différentielle qui seront eux aussi utilisés dans la suite du cours. Le chapitre 2 est consacré à un sujet particulier, à mi-chemin entre les mathématiques et la mécanique, celui des vecteurs appliqués. Certaines connaissances des