Espace vectoriel topologique

http://maths-sciences.fr Bac Pro indus CALCUL VECTORIEL - PRODUIT SCALAIRE I) Vecteurs dans le plan L’utilisation des vecteurs dans le plan facilite les travaux sur certaines grandeurs physiques. 1) Définir un vecteur - sa direction : la direction du vecteur u est la droite (AB). - son sens : le sens du vecteur u est de A vers B. - sa norme : la norme du vecteur u notée : u est la mesure de la longueur du segment [AB] 2) Réaliser la somme ou la différence de deux vecteurs Réaliser une construction

Formes lin´aires et espace dual e (1) (*) Soit E = IR3 . Montrer que toutes les formes lin´aires sur E s’´crivent f (x1 , x2 , x3 ) = a1 x1 + e e a2 x2 + a3 x3 D´monstration. E est un espace vectoriel de dimension 3 et soit e = (e1 , e2 , e3 ) une base de E, tout vecteur x de e E s’ecrit, de maniere unique, sous la forme x= 3 xi ei avec xi ∈ R,choisissons l’ensemble {1} (ensemble a un seul i=1 element), comme base de R Soit la proposition : Soient E et R deux espaces vectoriels,e = (e1 , e2 , e3 )

1 0 0   0 1 0 0 0 1   Pr S.Houfaidi Master Génie Logistique Rappels Mathématiques Calcul et applications des déterminants 1. déterminant d’une matrice carrée d’ordre deux 1.1 déterminant de deux vecteurs Soit E un espace vectoriel de dimension deux sur un corps K.   B= e1 ,e2  une base de E. Définition       Soient u  ae1  be2 et v  a' e1  b' e2 , on appelle déterminent des deux vecteurs     u et v dans la base B et on note det B (u , v ) le nombre ab’-ba’

implicites . . . . . 3.5.8 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.9 Réserve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Algèbre linéaire, vecteur et matrices 4.1 Déterminants et systèmes d’équations 4.2 Opérations sur les matrices . . . . . . 4.3 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 4.3.1 Orthogonalité . . . . . . . . . 4.4 Valeurs propres et vecteurs propres . 4.5 Triangularisation . . . . . . . . . . . 4.6 Formes quadratiques . . . . . . . . . 4.6.1 Réserve . . . . . . . . . . . . 5 Interrogation

représentent un nuage de n points dans un Espace Vectoriel Rp de dimension p. (respectivement, les p colonnes représentent p points dans l'E.V. Rn ) Une représentation graphique de ces points dans cet espace est bien entendu impossible lorsque p>2. L'analyse de données propose une représentation graphique optimale dans R2, obtenue par la projection de ces points dans un plan (π) privilégié appelé plan factoriel.(ou plan principal) r r Ce plan est un sous-espace de Rp, généré par les 2 premiers vecteurs

différentielles -Les ensembles -Les nombres complexes -Polynômes - Equations algébriques  Division euclidienne  Racines d'un polynôme  Division suivant les puissances croissantes  Fractions rationnelles -Espaces Vectoriel Notions d'espace et sous espaces vectoriels Bases d'un espace vectoriel Applications linéaires Projections - symétries -Systèmes linéaires Equations linéaires Déterminants - Matrices Matrices et applications linéaires Matrices et changement de bases Valeurs propres et diagonalisation

est positive, et on note A ≥ 0, si elle est à coefficients positifs ou nuls. Matrice Productive : On dit qu’une matrice carrée A est productive si A≥0 et si il existe au moins un vecteur q≥0 tel que q≥Aq. Matrice de Passage : Dans un espace vectoriel V de dimension n, on appelle matrice de passage d’une base β= u1, u2,…un dans une base β= u1, u2,…un , la matrice P dont les colonnes sont constituées des composantes des uk dans la base β des ui . Diagonalisation des matrices symétriques :

matrice de Mn (R), on désigne par exp M son exponentielle, définie par +∞ Mk . On rappelle que l’application t → exp(tM ) de R dans Mn (R) est de classe exp M = k! k=0 C 1 , et que sa dérivée en 0 est M . De même, si ϕ est un endomorphisme d’un R-espace vectoriel +∞ k ϕ de dimension finie, on note exp(ϕ) son exponentielle donnée par la série . k! k=0 Soit U un ouvert de Rn . Si f : U → Rp est une application de classe C 1 , on note dfx sa différentielle au point x, soit : 1 ∀h ∈ Rn , dfx (h) = lim (f (x

Définition d'un vecteur : Si l’on a choisi une unité de longueur dans le plan, un vecteur est caractérisé par : sa direction son sens sa norme Exemple : La direction deest la droite (AB). Le sens deest de A vers B. La norme deest la longueur AB. Egalité de vecteurs : Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction

y; z) =y; z 2 Rg Cette partie on va la revoir dans l’intersection des 3 Plans. 2 Chapitre 2 : Diagonalisation de A. Dans ce chapitre on aura 5 points importants: 1. Polynôme Caractéristique. 2. Sp(A) ou les valeurs propres de A. 3. Sous Espaces Vectoriels Propres de A ou les vecteurs propres. 4. A est diagonalisable ?!! Diagonalisé A. 5. Applications. 2 2.1 Polynome Caractéristique PA (X): PA (X) = det(A 1 1 1 2 1er exemple A = @ 1 2 1 A : 2 1 1 1 X 1 PA (X) = det(A XI) = 2 XI) 0 1 2