Expression rationnelle

. . . Développements limités 4 Erwan Biland - Problèmes MPSI 1 Fonctions d’une variable 37 38 39 40 41 42 L’équation fonctionnelle f (x + y ) = f (x) + f (y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions d’une variable, nombres rationnels 46 47 48 50 52 53 Valeurs prises par une fonction dans tout voisinage de +∞ . . . . . . . . . . . . . . Continuité des fonctions, suites numériques Étude d’une fonction et d’une suite de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

intuitive d’ensemble. On détermine un ensemble E en explicitant ses éléments ou par compréhension E = {x / x vérifie une propriété (P )}. Exemple : Si E1 = {1, 2, 3, 4} alors E2 = {x ∈ E1 / x vérifie 2 ≤ x ≤ 5} est dite expression par compréhension E2 = {2, 3, 4} est dite expression explicite Soit E un ensemble, on dit que A est une partie (ou un sous ensemble) de E si tout élément de A est un élément de E. On dit aussi que A est inclus dans E et on note A ⊂ E. A ⊂ E ⇐⇒ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ E) 1 Analyse

Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre Guy Laffaille Christian Pauly janvier 2006 2 Table des mati`res e 1 Les 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 nombres r´els et complexes e Nombres rationnels . . . . . . . . . . Nombres r´els . . . . . . . . . . . . . e Densit´ des rationnels et irrationnels e Nombres complexes . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 7 11 11 13 15 15 16 17 17 17 18 18 19 21 21 23 28 29 33 34 39 39 41 42 44 47 48 50 55 55 55 59 61 . . . . . . . . . .

entiers relatifs avec q q non nul. 1 2 3 4 (Si l’on sait construire , à l’aide du compas on construit , , etc et leurs opposés.) 5 5 5 5 Page 3 Ces nombres sont appelés nombres rationnels, leur ensemble est noté X. Remarque : V ⊂ ℤ ⊂ X. D’autres nombres constructibles à la règle et au compas ne sont pas rationnels. Par exemple, on peut citer le nombre 2. Construire un carré OICD. Quelle est la mesure de la diagonale de ce carré ? On peut donc construire à la règle et au compas le nombre 2. Peut-on

complexes I. Nombres réels Weierstrass (1863) et Dedekind (1872) furent les premiers à proposer une construction satisfaisante de ℝ ... que nous ne présenterons pas. Parmi les nombres réels, ceux qui s’écrivent comme rapport de deux entiers sont dits rationnels, ils forment l’ensemble ℚ . Les autres sont dits irrationnels. 1°) Opérations dans ℝ ℝ est muni de deux opérations + et × i.e. de deux applications : ℝ×ℝ → ℝ ℝ×ℝ → ℝ et . (x , y ) ֏ x + y (x , y ) ֏ x ×y Propriétés de l’addition : ∀a ,b

77 6.1.1 Lois du calcul int´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.1.2 Int´egration de fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.1.3 Int´egration de fonctions rationnelles, d´ecomposition en fractions partielles . 80 Int´egration et quadrature — l’int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.2.1 L’int´egrale d´efinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

bε x = a−b ε x=ab ε Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation 2 x = 1 et x ε est vide. On peut construire une extension de , appelée corps des nombres rationnels et notée tion précédente possède une solution notée x = 1 . 2 aε , bε ∗ Les équations suivantes possèdent une solution rationnelle x= a b x = a2 aε , dans laquelle l'équa- ε ε Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation x2 = 2 et x ε est vide. On peut contruire une extension

-1- Les Nombres Rationnels 3. Les Nombres Rationnels § 3.1 Les fractions Définition : Une fraction est une expression de la forme a b avec a et b des nombres entiers. Une fraction est aussi appelée nombre rationnel. Notation : L'ensemble des fractions est noté par Q Remarque : `⊆]⊆_ Aussi : le numérateur a b la barre de fraction le dénominateur 2 ; 3 Exemples : −1 ; 4 23 ; 0,5 7 sont des fractions Représentation d’une fraction : la

Z ⊂ ID) Ensemble des rationnels L’ensemble des rationnels est noté Q Il est constitué des fractions a où a∈ Z et b ∈IN* b * désigne l’ensemble des entiers naturels non nuls IN Exemple : 2 = 0,181818... est un rationnel car son développement décimal illimité 11 est périodique de période 18 Ensemble des irrationnels Exemple : 2 = 1,41423562... est un irrationnel car son développement décimal illimité n’est pas périodique Ensemble des réels L’ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels

positifs, négatifs ou zéro : autrement dit l’ensemble des nombres entiers, nombres relatifs (fractions ou ratios : nombres rationnels), nombres irrationnels (à savoir les nombres qu’on ne peut pas présenter comme le rapport de deux nombres entiers), et les nombres qu’on ne peut présenter ni en forme de fraction de deux nombres entiers ni en forme de racine d’un nombre entier ou rationnel. Exemple de nombres réels : - 6 ; 25 ; -3/4 ; 12,17 ; (- 6 ) ; π ; log5 ; sin56° …. NB la racine carrée de -1 à savoir