F

Fonctions dérivables 1 Calculs Exercice 1 Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 soit dérivable sur R∗ . + Indication Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note encore f la fonction x prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction Vidéo [000700] Exercice 3 Étudier la dérivabilité des

d’une fonction Soit f une fonction définie sur un intervalle I. • f est croissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a b alors f(a) f(b). f est décroissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a b alors f(a) f(b). • f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) < f(b). f est strictement décroissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) > f(b). • f est monotone sur

ouvert, z0 ∈ U , et f ∈ H (U \ {z0 }). On est alors nécessairement dans un des cas suivants : (1) la fonction f peut être prolongée en z0 par continuité et dans ce cas, ˜ le prolongement vérie f ∈ H (U). z0 est une singularité éliminable ou articielle (2) (3) Il existe un entier m tel que g (z) = (z − z0 )m f (z) se prolonge en z0 en une fonction holomorphe sur U . On dit dans ce cas que z0 est un pôle de n f , d'ordre m, le plus petit entier n tel que (z − z0 ) f (z) se prolonge en fonction

instance de la forme minimiser/maximiser f (x) sous les conditions gi (x) ≤ 0 ∀i ∈ {1, . . . , m} hj (x) = 0 ∀j ∈ {1, . . . , m } avec f : Rp → R une fonction objectif et gi , hj : Rp → R des fonctions de contraintes. L’ensemble des points {x ∈ Rp | gi (x) ≤ 0 ∀i ∈ {1, . . . , m}, hj (x) = 0 ∀j ∈ {1, . . . , m }} est appelé ensemble de candidats. S’il est non vide, on appelle solution du problème d’optimisation tout minimum/maximum global de la fonction f restreinte à cet ensemble de candidats

l’axe optique. On le note F’. Tout rayon incident parallèle à l’axe optique donne un rayon émergent passant par le foyer image F’. Le plan focal image est le plan perpendiculaire à l’axe optique et passant par le foyer image F’. Le système est aplanétique : l’image de tout point objet situé à l’infini se situe dans le plan focal image. Foyer objet ; Plan focal objet Le foyer objet est le point objet conjugué d’un point image situé à l’infini et sur l’axe optique. On le note F. Conséquence : tout rayon

l’ensemble des fonctions f : I → R v´rifiant : e e 1. f (0) = 0, 2. ∀x ∈ I, f (x) ≥ 0, 3. f est deux fois d´rivable sur I, e 4. ∀x ∈ I, f (x) ≥ 0. 1 Comportement ` l’infini des fonctions de N a Pour une fonction f ∈ N , on d´finit la fonction e ]0, + ∞[ Q 1 On a. b. c. −→ x g: → R f (x) x consid`re dans cette question la fonction f d´finie sur I par f (x) = x − th x. e e V´rifier que f ∈ N . e D´terminer la limite lorsque x → +∞ de f et de g. e ´ Etudier

. . . . . . . . . . . . . . . . . 37 37 38 38 40 40 41 Rudiments de logique Propositions, démonstrations, etc. Définition 1.1.1 Une proposition est un énoncé dont on doit pouvoir dire qu’il est « vrai » ou « faux ». On notera V et F (ou encore 1 et 0) les deux valeurs logiques possibles d’une proposition. Exemples : – « l’entier 2011 est premier » est une proposition vraie – « l’entier 2012 est premier » est une proposition fausse – « l’entier 2014 est une somme de deux carrés

et compléments f est une fonction définie sur un intervalle Ι et a ∈ Ι. Nombre dérivé en a Tangente à la courbe f est dérivable en a si le quotient f (a + h) − f (a) admet une h limite finie en 0. Le nombre dérivé de f en a est : La courbe de f admet au point A(a, f(a)) une tangente dont le coefficient directeur est f ’(a). Une équation de cette tangente est : f (a + h) − f (a) h f ( x) − f (a) ou f '(a) = lim x →a x −a f '(a) = lim h →0 Illustration y = f '(a)(x − a) + f (a) Existence d’une

calculez la fonction d´riv´e e e e de f sur E. Exercice 1 E = R f : x −→ Exercice 2 E = R f : x −→ Exercice 3 E = arcsin 3 5 7 − 8 cos(x) . 10 − 7 sin(x) 7 − 8 sin(x) . − cos(x) − 10 3 5 − π; − arcsin f : x −→ 9 sin(x) + 7 . 10 sin(x) + 6 2 Exercice 4 E = arccos − 2 ; 2π − arccos − 3 3 f : x −→ Exercice 5 E = ]−π; π[ f : x −→ 8 − 8 cos(x) . 3 cos(x) + 2 7 cos(x) − 2 . −3 cos(x) − 3 6 Exercice 6 E = arccos − 6 ; 2π − arccos − 7 7 f : x −→ Exercice 7 E = arcsin 3 5

efinition. Soit Ω un ensemble et F ⊂ P(Ω) une collection de sous-ensembles de Ω. On dit que F est une tribu sur Ω si elle v´erifie les conditions suivantes : (i) ∅ ∈ F ; (ii) si, pour tout n ∈ N on a An ∈ F, alors ∪ An ∈ F ; n∈N (iii) si A ∈ F, alors Ω \ A ∈ F. En toutes lettres : une tribu contient l’ensemble vide et l’espace total et est stable par r´eunion et intersection d´enombrables ainsi que par compl´ementaire dans Ω. Un couple (Ω, F) o` u Ω est un ensemble et F une tribu sur Ω (on dit aussi