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e fqc e f qs dcf qs df cq se cq sd f cq se fc qsd f cqs d f cq se cq ze f qsd fc q ze c qs df cq ze cq se cqz e fqd f qsd f cqd sf qc d fq sd f dqs fq scfd f ds f q se ytkj ryt j g re gr q s f d fqsdfffffffffff cze rt s fd c fdg c sdf g sdf g g g g g g g ggggggg g g g g g g g g g g g g g gg g g g g g g g g ggggg g gg g c z r f ff f ff f f f f ff f f f f f f f f f f f f fff ffff fff fffff fff fff ffff f ff fff ff ff ffff f ffff ff fffff f f ffff ff ff fff f ff f ffff f f f f f ffff ff

Dérivées et opérations • Si f et g sont deux fonctions dérivables sur I, f + g est dérivable sur I et (f + g) ′ = f ′ + g ′ . • Si f est dérivable sur I et si λ est un réel, λf est dérivable sur I et (λf) ′ = λf ′ . • Si f et g sont deux fonctions dérivables sur I, f × g est dérivable sur I et (f × g) ′ = f ′ g + fg ′ . ′ f f ′ g − fg ′ f • Si f et g sont deux fonctions dérivables sur I et si g ne s’annule pas sur I, est dérivable sur I et . = g g g2 • Si f est dérivable sur I, si g est

Etant donné f est une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a, f est dérivable en a si lim h→0 f (a + h) − f (a) existe h et est égale à un réel que l’on appelle alors nombre dérivé de f en a et que l’on note f (a). • Si f est dérivable pour tous les éléments de I, on dit que f est dérivable sur I et on appelle dérivée de f la fonction, notée f , qui à tout a de I associe f (a), le nombre dérivé de f en a. Exemple : Soit f définie sur R par f (x) = x2 . f (a + h) − f (a) (a +

telque ~ OO 3z0eC telque -- 2 fi< z , < - -A . +& 2 2 Ce qui montre que inf C = - 2 1.10. (Coupures de DEDEKIND). Soit f la fonction définie de R dans W par f(x) = x3 + x - 1 . 1") Etudier la monotonie de f. 2") Soit p/q un rationnel. Montrer que l'égalité f(p1q) = O est impossible. 3") S o i t A = ( a € Q / f ( a ) < O ) et B = { b~ Q / f(b)>O ). Montrer que : a) A n B = @ et A u B = b ) V a ~ A et V ~ BE a < b . 4") Montrer l'existence de a = supA et P = infB dans R et qu'elles

Filtrage idéal d'une composante fréquentielle Selon la bande rejetée, on rencontre les 4 grandes catégories de filtres décrites en Figure 2. A(dB) A(dB) f A(dB) A(dB) f f f Passe-bas (PB) Passe-haut (PH) Passe-bande (PBde) Coupe bande (CB) Où A(dB) est l’atténuation apportée par le filtre sur une composante de fréquence f Figure 2. Les 4 catégories de filtres idéaux 1 1.3 Filtres réels a) Equation différentielle En pratique il n’est pas possible d’atteindre parfaitement

Espace physique, ensemble des solutions d’ une équation x0 = ax + b(t), espaces vectoriels, en particulier Rn . 2. Sous-espaces a¢ nes ! ! (a) Dé…nition : F = I + F , propriété F = J + F pour tout point J 2 F . (b) Cas particuliers : points, droites, plans, hyperplans (relation avec les noyaux de formes linéaires non nulles). (c) Paramétrisation : F = I +t1 e1 +:::+tp ep , et équations paramétriques ! lorsqu’ une base est donnée dans E . Cas des hyperplans, élimination des paramètres et équation cartésienne

fonction f :  → , continue par morceaux et de période 2π , on associe ses coefficients 1 2π de Fourier exponentiels définis, pour n ∈ Z, par c n ( f ) = f (t ) e −i n t dt et ses coefficients de 2π ∫ 0 Fourier trigonométriques définis par : 1 2π 1 2π a n ( f ) = ∫ f (t ) cos(n t ) dt (pour n ∈ ) et bn ( f ) = ∫ f (t ) sin(n t ) dt (pour n ∈  * ). π 0 π 0 On pose, pour tout entier naturel p et tout réel x : p p a S p ( f )( x) = ∑ c n ( f ) e i n x = 0 + ∑ ( a n ( f ) cos(n x) + bn ( f ) sin(n

fonction f d´finie sur un intervalle I contenant une valeur x0 , e si le taux de variation de f entre x et x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 poss`de une limite finie a lorsque x tend vers x0 , alors on dit que e – la fonction f est d´rivable en x0 , e – le nombre d´riv´ de f en x0 est a. On le note f (x0 ) = a. e e On retiendra la d´finition e f (x0 ) = lim x→x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 valable lorsque cette limite existe. En introduisant la diff´rence h = x − x0 , e cette d´finition s’´crit e e f (x0 ) =

Pour chacun d'entre eux calculons rt− s2 : • Pour A et pour B : rt− s2 = 36(1− 4) &lt; 0 : f n'admet pas d'extremum en ces points. • Pour C : rt− s2 = 108 &gt; 0 et r &gt; 0 : la fonction f admet un minimum local au point (2, 1), et ce minimum vaut f(2, 1) = −28. • Pour D : rt − s2 = 108 &gt; 0 et r &lt; 0 : la fonction f admet un maximum local au point (−2,−1), et ce minimum vaut f(−2,−1) = 28. Brigitte Bonnet, Lycée International de Valbonne Avril

d'une fonction f. Pour tout réel h non nul, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et a+h le quotient : f(a+h)−f(a)h En posant x=a+h, le taux d'accroissement entre x et a s'écrit : f(x)−f(a)x−a La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième forme). Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée f′(a) : limh→0f(a+h)−f(a)h=limx→af(x)−f(a)x−a=f′(a)