F

3.500 f/sac 3.500 f/sac 5 2 2.500 f 3.000 f 1 2 180 Kg 2 1 2 2 2.500 f 1.500 f 1.300 f/Kg 3.000 f 3.000 f 3.500 f 20.000 f 20 m 3.500 f/m Quantité 50 250 20 10 330 5 1 1 3000 8.000 f 50.000 f Coût unitaire 500 f 20 f 1.500 f 8.000 f Coût total 25.000 f 5.000 f 30.000 f 80.000 f 140.000 f 15.000 f 8.000 f 50.000 f 73.000 f 70.000 f 70.000 f 2.500 f 3.000 f 234.000 f 6.000 f 3.000 f 7.000 f 40.000 f 295.500 f 2 1 2 rouleaux 60 tuteurs 1 500 f 2.500 f 8.000 f/roul. 50 f/pieds 25.000 f 1.000 f 2.500

p´riodique e Soit f : R −→ R et T > 0. On suppose que f est T -p´riodique cad : ∀ x ∈ R, f (x + T ) = f (x). e 1) Si f poss`de une limite en +∞, montrer que f est constante. e 2) Si f est continue non constante, montrer que f a une plus petite p´riode. e 3) Si f est continue, montrer que f est born´e et atteint ses bornes. e Exercice 2. Fonction ayant des limites ` l’infini a Soit f : [0, +∞[ −→ R une fonction continue ayant une limite finie en +∞. 1) Montrer que f est born´e. e 2) Montrer que f admet un maximum

Test Exercice 1 (6 points). Répondre par Vrai ou Faux aux affirmations suivantes. Justifier vos affirmations. Toute réponse non ou mal justifiée ne rapportera pas de points. A. Soit f la la fonction définie sur IR par : f(x) = (x - 1)e2x, alors : a. [pic]= x e2x b. f(x) = −( c. L’équation f(x) = 1 admet dans IR une solution unique. B. Si x ≥ −2 alors ex ≥ . C. Les courbes représentatives des fonctions x ( 2ex/2 – 1 et x ( ex ont la même tangente au point A(0 ; 1) D

-5 ). a. 2 a pour image 0 par la fonction f b. un antécédent par h de -3 est 5 c. les images de -3 et 5 par g sont nulles d. - 4 est un antécédent de 2 par la fonction u e. 46 est l'image de 12 par la fonction v f. un antécédent par la fonction f de -8 est 17 Exercice 2 Soit f la fonction définie par f(x) = 2x 2 . 1. Que peut-on dire de l'ensemble de définition de f ? Calculez les images par f des réels 0; 2 ; - 4. 2. Vérifiez que 4 a deux antécédents par f. Pourquoi - 4 n'est-il l'image d'aucun réel

Les Mathématiques pour l’Agrégation C. Antonini J.-F. Quint P. Borgnat J. Bérard E. Lebeau E. Souche A. Chateau O. Teytaud 14 février 2002 Table des matières 1 2 3 Calcul différentiel 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Applications à valeurs dans un produit d’espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Applications de plusieurs

eprésentatioon graphique e dans un rep père  une fonction  f  définie e et dérivable ssur   .  ortthogonal d’u 1. Pourr chacune dees affirmations ci‐dessou s indiquer si elle est vraie ou fausse  et justifier votrre réponse :  a. Toute prrimitive de  f  s’annule ppour 0,5.  b. Toute prrimitive de  f  est décroisssante sur   0; 0 0, 5 .  2. Parm mi les courbees C1 et C2 do onnées ci‐desssous, l’une est la représsentation  ne primitive de f sur   . Indiquer laq uelle en précisant les raiisons de 

Les fonctions I Notion de fonction. Plusieurs définitions Se donner une fonction f, c'est associer à tout nombre réel noté x, pris dans un certain ensemble, un unique nombre réel, noté f(x), appelé image de x par f. On dit « f de x ». Cette association peut s'effectuer au moyen : Exercice n°1 : Les tracés suivants correspondent-ils à celui d’une fonction numérique ? 1. d'un graphique : Par exemple, le graphique suivant donne le relevé des températures extérieures sur une journée en fonction

e E → R, x → x = L(E) est l’ alg` bre des endomorphismes de E, (O(E), ◦) est le groupe orthogonal de E, tA est la transpos´ e e e de la matrice A, F ⊥ est l’ orthogonal du sous espace vectoriel F de E, Imf et ker f d´ signent l’image et le noyau d’ un endomorphisme f de E. Id est l’ identit´ sur E. Matβ β e e d´ signe la matrice de f dans la base β de E. Dans la partie I on d´ finit les endomorphismes sym´ triques e e e positifs et on cherche leur racine carr´ e. Dans la partie II on

A3 et la solution f(x)=0 semble graphiquement très proche . 2a)Si f est dérivable en un un réel a de I, le coefficient directeur de la tangente est f '(a)L'équation de la tangente est donc de la forme :y =f '(a) x + p où p est un réel à déterminer.Le point de coordonnées(a;f(a))appartient à la tangente ( et aussi à la courbe représentative de la fonction f)Les coordonnées(a;f(a))vérifient donc l'équationy =f '(a)x + p ce qui permet de trouver le réelpf(a)=f '(a)a+ pp =f(a)-f '(a)aPar conséquent

1 Calculs Exercice 1 Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 soit dérivable sur R∗ . + Indication Correction si x > 1 [000699] Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note x encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction [000700] Exercice 3 Étudier la