F

On donne la fonction f d´finie sur R par : f (x) = −x4 + 2x2 + 1. e On appelle Γ la courbe repr´sentative de f dans un rep`re orthonorm´ (O; ı, ) . e e e ´ 1. Etudier la parit´ de f . e 2. D´terminer les limites de f aux bornes de son domaine de d´finition. e e 3. Calculer la fonction d´riv´e de f et ´tudier son signe. e e e 4. Dresser le tableau de variations de f . 5. Tracer la courbe repr´sentative de f . e Corrig´ e Exercice n 2: ˚ Soit la fonction d´finie sur R − {1}, par f (x) = e x2 + x + 1

A toute fonction f de L1(IR), on associe sa Transform´e de Fourier F (f ), e e ˆ e not´e aussi f d´finie par : e ˆ F (f )(ν) = f (ν) = IR Remarques : 1) Certains auteurs, sp´cialistes de la th´orie du signal, d´finissent une transe e e form´e de Fourier ´quivalente ` celle-ci en fonction de la pulsation ω = 2πν : e e a F (f )(ω) = IR ˆ 2) Si f est paire, f (ν) = 2 0 +∞ e−2iπνx f (x) dx. e−iωx f (x) dx. f (x) cos(2πνx) dx ; +∞ ˆ 3) Si f est impaire, f (ν) = −2i 0 f (x) sin(2πνx) dx

considérons la fonction f dont la courbe représentative est : Lorsque x s'en va vers +∞ ∞, f(x) devient de plus en plus grand. il n'a aucun maximum. On dit alors que f(x) tend vers +∞ ∞. Ou que la limite de la fonction f lorsque x tend vers +∞ ∞ est égale à +∞ ∞. Ce que l'on résume par : Définition : Dire que la limite de f en + G est + G signifie que f(x) devient de plus en plus grand dès que x est suffisamment grand. b) Limite finie Considérons maintenant la fonction f dont la courbe représentative

n9est p—s étonn—nt que mes ™hefs m9—ient l—n™é d—ns ™ette invr—isem˜l—˜le —venture où je dev—is me trouver —ux prises —ve™ d9impénétr—˜les mystèresF ƒeulementD dès le dé˜ut de ™e ré™itD il est indispens—˜le que l9on me ™roie sur p—roleF À propos de ™es f—its prodigieuxD je ne puis —pporter d9—utre témoign—ge que le mienF ƒi l9on ne veut p—s me ™roireD soit 3 on ne me ™roir— p—sF ve qre—tEiyry est pré™isément situé en un point de ™ette ™h—îne pittoresque des wont—gnesEfleues qui se pro(le sur l— p—rtie

fonctions Rn → Rm , avec en particulier une d´monstration du th´or`me des fonctions inverses et une de celui des fonce e e tions implicites. Comme application, on pr´sente les m´thodes classiques du e e calcul diff´rentiel pour l’optimisation d’une fonction f (x1 , x2 , . . . , xn ), avec e ou sans contrainte sur les variables x1 , x2 , . . . , xn . L’´tudiant est r´put´ ˆtre familier avec le calcul diff´rentiel des fonctions e e ee e d’une variable, les fonctions R → R. Rappelons quelques r´sultats impore

constante f  x =k est f ′  x =0 Exemple   3 est f ′  x =0 2 La dérivée de f  x =−5 est f ′  x =0 La dérivée de f  x = B. Dérivées de la forme ax 1. Dérivée de la forme f(x)=ax Définition La dérivée d'une fonction de la forme f  x =a x est f ′  x =a Exemple    La dérivée de f  x =3 x est f ′  x =3 La dérivée de f  x =−7 x est f ′  x =−7 La dérivée de 2 2 f  x = x est f ′  x = 5 5 5 Formules de dérivation  La dérivée de f  x =

http://mathscyr.free.fr LIMITES – EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. Déterminer la limite éventuelle en + ∞ de chacune des fonctions suivantes : 1 x3 1) f ( x ) = 2) f ( x ) = − x 4 1 x 3) f ( x ) = −3 + Déterminer la limite éventuelle en − ∞ de chacune des fonctions suivantes : 4) f ( x ) = − x 3 5) f ( x ) = 5 + 1 x 6) f ( x ) = −x Déterminez les limites suivantes 7) lim (2 x + 1 − x →+∞ 1 ) x 8) lim( x 2 − 4 + x→0 x >0 1 ) x 3 x → −∞ x − 4 9)

Exemples: f désigne une fonction définie au moins sur un intervalle I de . - Pour étudier le sens de variation de f , il suffit de pouvoir étudier le signe de la dérivée f ’(x) pour établir le sens de variation de f sur I . - Rappelons que f ’(x) désigne le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse x. Ainsi, 1) Du signe de la dérivée au sens de variation Propriétés (admises) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. • si f '(x) est

Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres Valeur propre. f ∈ L(E) et λ ∈ K, E de dimension quelconque. → → − → → λ est valeur propre de f si et seulement si il existe − = 0 tel que f(− ) = λ− x x x si et seulement si f − λIdE n’est pas injectif → − si et seulement si Eλ = Ker(f − λId) = { 0 } f ∈ L(E) et λ ∈ K, E de dimension finie. λ est valeur propre de f si et seulement si f − λIdE ∈ G L (E) / si et seulement si det(f − λIdE ) = 0. A ∈ Mn (K) et λ ∈ K. λ est valeur propre de A si si si

l’infini 1.1 Limite finie à l’infini Définition 1 : Dire qu’une fonction f Cf a pour limite ℓ en +∞, signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ, contient toutes les valeurs de f ( x ) pour x assez grand - c’est à dire pour les x d’un intervalle ] A; +∞[. On note alors : ℓ ∆ O lim f ( x ) = ℓ x A x →+∞ La droite ∆ d’équation y = ℓ est dite asymptote horizontale à C f Remarque : On définit de façon analogue lim f ( x ) = ℓ. x →−∞ 1 1 1 , x → n et x → √ ont des x x x limites nulles en