F

APPLICATIONS LINEAIRES Soit E et F deux e.v. sur R. On dit que f est une application linéaire (ou A.L.) de E dans F ⟺ {█(∀x∈E et ∀λ∈R,f(λ.x)=λf(x)@∀x et ∀y∈E,f(x+y)=f(x)+f(y) )┤ ⟺ (∀x∈E,∀y∈E,∀λ∈R) f(x+λy)=f(x)+λf(y) Soit f∈L(E,F). (x et y étant des vecteurs) Notation : l’ensemble des applications linéaires de E dans F se note L(E,F). Propriétés : f(0_E )=0_F ; f(-x)=-f(x). Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E. Notation : l’ensemble des endomorphismes

fonction f de la variable réelle t, f(t), définie sur R et supposée nulle pour t < 0 alors f(t) est une fonction causale. Définition de la transformée de Laplace. On appelle transformée de Laplace de f la fonction F définie par: F(p) = ¶ exp(−p $ t ) $ f(t) $ dt où p est une variable réelle ou complexe. 0 ∞ Notations. On écrira : F(p) = [f(t)] ou F(p) a f(t). Les symboles : et a signifient «transformée de Laplace de» Par la suite, on utilisera plutôt la notation : F(p) a f(t) où F est la

dans l’équation ou l’inéquation. ➥ Exercices 1.3, 1.8, 1.9 • Reconnaître un développement remarquable, par exemple celui du binôme de Newton. ➥ Exercice 1.1 1 Chapitre 1 • Les nombres réels • Montrer que l’équation se ramène à f (x) = 0, où f est strictement monotone, ce qui établira que l’équation admet au plus une solution. ➥ Exercice 1.4 • S’il y a des radicaux, essayer de les chasser par élévation(s) au carré, ou faire intervenir la notion de quantité conjuguée. ➥ Exercice

carrée On définit la fonction f telle que f ( x) = x ² sur [ −1; 2] . Soient les points A (1;1) et M ( x; x ² ) ∈ C f ( AM ) est une sécante à la courbe C f Cf Calculons le coefficient directeur de ( AM ) : m= yM − y A x ² − 1 = xM − x A x −1 m= ( x + 1)( x − 1) = x + 1 si x ≠ 1 . x −1 © http://www.bacdefrancais.net Page 1 sur 23 Dérivation Lorsque l’on « rapproche beaucoup » le point M du point A, ( AM ) devient la tangente à C f en A. Calculons le coefficient

cours, E,F et G désignent des K-espaces vectoriels. I) GÉNÉRALITÉS. 1) Définition. DEF : Soit f une application de E dans F ; on dit que f est K-linéaire (ou que c’est un morphisme de K-espaces vectoriels) si f est un morphisme pour les deux lois définies sur E et F, c’est-à-dire si → → → → → → 1. ∀− , − ∈ E f (− + − ) = f (− ) + f (− ) x y x y x y − ∈ E ∀λ ∈ K f (λ− ) = λf (− ) → → → 2. ∀ x x x REM 1: on peut regrouper 1. et 2. en un seul énoncé : → → → → → → 3. ∀− , − ∈ E ∀λ ∈ K f (− + λ− ) = f (− )

Chapitre 4 Chapitre 4. Fonctions logarithmes Activités et applications f’(x) = 1. Définitions de la fonction logarithme népérien 1– × x – ln (x) 1 – ln(x) f’(x) = x = . x2 x2 Application 2 Activité. On découvre la fonction 1 La fonction F définie sur ]0 ; + ∞[ par F(x) = ln(x) – est x une primitive de f sur ]0 ; + ∞[. Les primitives de f sur ]0 ; + ∞[ sont les fonctions G 1 définies sur ]0 ; + ∞[ par G(x) = ln(x) – + k ; k réel x quelconque. 1. On vérifie que ln(5) ≈ 1,609. 2. a) On obtient

matières 1 Intégrale de Reimann IFHFI IFHFP IFHFQ IFHFR IFHFS wotiv—tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F g—l™ul des surf—™es F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F sntégr—le dé(nie d9une fon™tion réelle F F F F F F F F F F F F F F F F F F h—r˜oux intégr—˜ilité ≡ ‚eim—nn intégr—˜ilité F F F F F F F F F F F F F sntégr—les génér—lisées F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F 2 P P R V PI I Chapitre 1 Intégrale de Reimann 1.0.1 Motivation

+H ! 0 , 1' ( & 5 F 2 Architectures distribuées N.ZIDANE 2012/2013 %3 ! , 1' & A )D' " ' B0 " F B B 4 7% KL L L I 3 J " 7% " KL L L KL L M D' D' 8 " ' Architectures distribuées N.ZIDANE 2012/2013 %3 1 : ( ! ' $" 0 F F KL L M F $ , 1' F 0@ * ! F $ $ 0 D' F$ 7% Architectures distribuées N.ZIDANE 2012/2013 ; ? F D' *0 F ( , 1' ! " , 1' D' 8' ( 0 )$) 8 N ' C * , 1' & ! ! F 21 2 (2 ( D *0 $ 1% D'

1. Nombre dérivé en a d’une fonction f 2 Activité T 1 – 0,5 0,5 2,5 3 3,5 4 4,5 Abscisse a du point –2 –1 f’(a) = mi –4 –2 1 2 1 2 4 f(x) = x2. f’(x) = 2x. 2. On a a = 2 f’(a). 3. Les points de coordonnées (a ; f’(a)) appartiennent à la droite d’équation y = 2x. 1 Application 1 0,5 f(x) = D ᏼ 2 Activité 1. 1,5 C 1,5 2. Fonctions dérivées A –1 1 – 0,5 Application 1 – 1,5 A 0,5 1. –2 Ᏼ 1,5 f(x ) – f(x ) f(1 + h) – f(1) (1 + h)2 – 1 1. xM – x A = = . h (1

fe/rait/ leur/ vi/gueur ? - Ô/ dou/leur/ ! ô/ dou/leur !// Le/ temps/ man/ge/ la/ vie, Et/ l'ob/scur/  En/ne/mi// qui/ nous/ ron/ge/ le/ cœur Du/ sang/ que/ nous/ per/dons// croît/ et /se/ for/ti/fie ! f f f ff f ff ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f PIEDS Ma/ jeu/nes/se/ ne/ fut// qu'un /té/né/breux/ o/rage, [12 syllabes] Tra/ver/sé/ çà /et/ là// par/ de/ bri/llants/ so/leils ; [12] Le/ to/nnerre/ et/ la/ pluie// ont/ fait/ un/ tel/ ra/vage, (12]