F

Exercice 1 Soit f la fonction définie pour t ∈ 0, π2 , par f (t) = 1 sin(t) − 1t . Montrer que f peut être prolongée en une fonction de classe C 1 sur 0, π2 . Exercice 2 Déterminer les limites suivantes : sin(x− π3 ) a) limπ 1−2 cos(x) b) lim xn −1 x−→1 x−1 x−→ 3 c) limπ cos(x)−sin(x) 4x−π x−→ 4 Exercice 3 Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition, son ensemble de dérivabilité et calculer sa dérivée là où elle existe : 2 x | b) f : x −→ (arccos(x2 )) c) f : x −→ arcsin

2007 – 2008 Les fonctions affines Classe de seconde Les fonctions affines Seconde Derni`re mise ` jour : Dimanche 3 F´vrier 2008 e a e Vincent OBATON, Enseignant au lyc´e Stendhal de Grenoble (Ann´e 2007-2008) e e Lyc´e Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) e -1- 2007 – 2008 Les fonctions affines Classe de seconde J’aimais et j’aime encore les math´mae tiques pour elles-mˆmes e comme n’admettant pas l’hypocrisie et le vague, mes deux bˆtes e d’aversion. Stendhal

• Soit f une fonction numérique, définie sur un intervalle ou une réunion d’intervalles, dont a est un élément. Le nombre dérivé en a de f est la limite finie, si elle existe, du taux d’accroissement de f en a. On note lim f ( x ) – f ( a ) = f ′ ( a ) ou bien en posant x = a + h : -------------------------x→a x–a lim f ( a + h ) – f ( a ) = f ′ ( a ) . -----------------------------------x→a h Remarque : si la limite du taux d’accroissement en a est infinie ou n’existe pas, alors la fonction f n’est

intervalle de ℝ et f : I → ℝ une fonction définie sur I à valeurs réelles. Exprimer verbalement la signification des assertions suivantes : a) ∃C ∈ ℝ , ∀x ∈ I , f (x ) = C b) ∀x ∈ I , f (x ) = 0 ⇒ x = 0 c) ∀y ∈ ℝ , ∃x ∈ I , f (x ) = y d) ∀x , y ∈ I , x ≤ y ⇒ f (x ) ≤ f (y ) e) ∀x , y ∈ I , f (x ) = f (y ) ⇒ x = y . Exercice 6 Soit I un intervalle de ℝ et f : I → ℝ une fonction définie sur I à valeurs réelles. Exprimer à l’aide de quantificateurs les assertions suivantes : a) « la fonction f s’annule » b)

non-négativité (section 6). 1 Préambule 1.1 Définitions préliminaires Soit f : U → R une fonction de n variables (x1, x2, ..., xn) à valeurs réelles dont l’en- semble de définition U constitue un sous-ensemble de R n. On supposera toujours que f est continue et deux fois différentiable. On note f ′i la dérivée partielle de f par rapport à xi (f ′i = ∂f(x1,x2,...,xn) ∂xi ) ; on note f ′′ij la dérivée croisée de f par rapport à xi et xj (f ′′ij = ∂2f(x1,x2,...,xn) ∂xi∂xj ) Déterminant d’une matrice : Le déterminant

ensemble contenant un intervalle ouvert contenant x ou tout simplement dans un intervalle ouvert contenant x. 1.1 Fonction num´erique d’une variable r´eelle D´efinition 1.7. Une fonction f d’un ensemble A dans un ensemble B (not´e f : A ! B) est la donn´ee pour chaque ´el´ement de A d’un unique ´el´ement not´e f(x) de B appel´e image de x. L’ensemble A est appel´e l’ ensemble de d´epart et l’ensemble B est appel´e l’ ensemble d’arriv´ee. Une fonction num´erique d’une variable r´eelle est une fonction

la fonction f définie sur R par f (x) = ( x2 −2x −1 ) ex . A. La fonction dérivée de f est la fonction définie par f ′(x) = (2x −2)ex . B. La fonction f est décroissante sur l’intervalle ]−∞ ; 2]. C. lim x→−∞ f (x) = 0. La bonne réponse est la réponse C. En effet, pour tout x de R, f (x) = x2ex −2xex −ex . Or, lim x→−∞ ex = 0 et, par croissance comparée, lim x→−∞ x2ex = 0 ainsi que lim x→−∞ xex = 0. On en déduit que lim x→−∞ f (x) = 0. 2. On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 3 5+ex

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X Topologie 276 80 Suites convergentes 276 81 Suites un+1 = f (un ) 280 82 Topologie de R 283 83 Topologie dans les espaces métriques 284 84 Topologie dans les espaces vectoriels normés 84.1 Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.3 Normes . . . .

Rennes 2 Variables multiples Chapitre 1 Fonctions de plusieurs variables Introduction On s’intéresse dans ce chapitre aux fonctions de plusieurs variables réelles de la forme f: x = (x1 , ..., xn ) → y = (y1 , ..., yp ) Ên → Êp où les yi = fi (x1 , ..., xn ) sont les p fonctions composantes de f . On veut généraliser pour ce type de fonctions les notions et résultats étudiés pour les fonctions réelles de la variable réelle vues en première année, à savoir : régularité (continuité

Alg`bre g´n´rale e e e F(E, E) −→ g −→ F(E, E) f ◦g Exercice 1 Soit f : E −→ E. On pose : ϕ: Montrer que ϕ est bijective si et seulement si f l’est. Solution 1 (⇐=) Montrons que ϕ est injective. Soient g, h ∈ F(E, E) telles que ϕ(g) = ϕ(h) i.e f ◦ g = f ◦ h Alors en composant par la r´ciproque de f ` gauche on obtient l’injectivit´. Pour la surjectivit´, si h ∈ F(E, E) on pose e a e e g = f −1 ◦ h et alors ϕ(g) = h. (=⇒) Comme ϕ est surjective, il existe g ∈ F(E, E) telle que f ◦ g = id. Mais on