Factorisation des polynômes

propriétés mathématiques sont des éléments très important dans les exercices et sont très présents dans les examens du gymnase. Plus vous savez de propriétés, plus vous aurez de la simplicité dans les exercices (surtout en simplification et en factorisation). Mais ici aussi, il n'y a pas de miracles, il faut les apprendre (tout comme du vocabulaire ou une poésie). Bien évidemment, il y en a une infinité de propriétés mathématiques (ou pas) mais toutes les apprendre ne seraient pas nécessaires. C'est

Utilisation de la calculatrice TI 89 Titanium La TI 89 permet de faire du calcul formel, c'est à dire de calculer des dérivées, des primitives, de résoudre des équations y compris avec des paramètres, de factoriser des polynômes ou de développer des expressions, de calculer des intégrales... et encore d'autres choses. Elle permet aussi de faire des calculs en "valeur exacte", donc sans donner d'approximation pour les racines carrées, les logarithmes ou les constantes comme e ou π, ou en valeur approchée

l'équation du second degré 1) Définitions On appelle polynôme de second degré l’expression a x² + b x + c (avec a non nul). On appelle équation du second degré une équation de la forme a x² + b x + c = 0, où a, b et c sont trois réels donnés, avec a différent de 0. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de x telles qui rendent cette égalité vraie. Ces nombres sont appelés "solutions de l'équation ou "racines du polynôme" (on peut aussi dire par abus de langage racines de l'équation)

nombres premiers 2, 3, 5 et 75 × 72 × 35 7, calculer . 27000 Exercice 4 √ √ a) Calculer ( 3 + 12)2 . √ b) Montrer que 3 − 5 > 0. Exercice 5 a) Développer le polynôme (3x + 2)(x − 3). b) Factoriser les polynômesf (x) = (2x − 3)2 − 16 et h(x) = (x + 4)2 − 9, puis déterminer les racines de ces polynômes. √ c) Ecrire les polynômes suivants sous forme de carré : 16x2 + 8x + 1, 9x2 − 12x + 4 et x2 − 2 5x + 5. Exercice 6 Factoriser le plus possible 3(x − 1)(x + 3) + 5(2x − 2)(x + 7) − (1 − x)

méthode est utilisée pour factoriser un polynôme ou pour décomposer en éléments simples une fraction rationnelle. On la rencontre dans des questions du type : « Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R, f (x) = . . . ». 2 Rappels de cours Dans ce paragraphe, P et Q sont deux polynômes définis sur un même domaine D. £   Définition 2.1 On dit que P et Q sont identiquement égaux si, pour tout x de D : P (x) = Q(x) ¢ ¡ Exemple. Les polynômes f et g définis sur R respectivement par

Note : /10 Date : /0 /2011 Mercredi : Polynômes Soit P(x) un polynôme de degré 4. Factoriser P(x), en sachant que 1 est une de ses racines. /3 P(x)= (…..)x4+ (…..)x3+ (…..)x2+ (…..)x+ (…..) Soit Q(x) un polynôme de degré 3. Factoriser Q(x), en sachant que 1 est une de ses racines.

Dans les trois expressions obtenues, x n'apparaît plus qu'une fois. b ) Forme canonique générale Propriété et définition Preuve : il suffit de développer la forme canonique (calculs à savoir refaire). Un polynôme de degré 2 (ou encore trinôme du second degré ou encore trinôme) est une expression de la forme , où et sont trois réels donnés, tels que . et sont appelés coefficients du trinôme Soit trois

 LE SECOND DEGRE I- Fonctions polynômes de degré 2 1) Définition : Une fonction f définie sur  est une fonction polynôme de degré 2 s’il existe des nombres réels a (a  0), b et c tels que, pour tout nombre réel x : f (x) = ax² + bx + c. C’est la forme développée de f (x). Exemple : f (x) = 2x² + 8x + 16. f est une fonction polynôme de degré 2. 2) Forme canonique : Soit f (x) = ax² + bx + c avec a  0. f(x) peut s’écrire : f (x) = a (x - )² +  où  = - et  = f (). C’est la

de fonctions 1ère : Deuxième degré - 2 I – Fonction polynôme de degré 2 a) Degré d’un polynôme Définition Le degré d’un polynôme est la plus grande puissance de l’inconnue. Exemples a) 𝑥3 − 5 𝑥2 + 𝑥 − 6 est un polynôme de degré 3 b) 𝑥3 − 5 𝑥2 + 𝑥4 − 6 est un polynôme de degré 4 c) 17 𝑥15 − 15 𝑥17 est un polynôme de degré 17 d) 3 𝑥 + 2 est un polynôme de degré 1 ...car 3 𝑥 + 2 = 3 𝑥1 + 2

Chapitre 1 : Fonctions polynômes 1. Les fonctions polynômes du 2nd degré Définition : Une fonction polynôme du second degré est une fonction �� définie sur ℝ par : �� �� = ���� 2 + ���� + �� �������� ��, �� ���� �� ������ ��é������ ���� �� ≠ 0 a) Forme canonique Il s’agit de factoriser la fonction polynôme �� �� ���� 2 + ���� + �� = �� �� 2 + �� + �� �� 2 �� �� 2 �� = �� �� + − 2+ 2�� 4�� �� = �� �� �� + 2�� 2 �� 2 − 4���� − 4��2 Rappel : �� + �� 2 = �� 2 + 2���� + ��2 �� 2 − �� = �� − �� ��