Factorisation

Développements – Factorisations Emilien Suquet, suquet@automaths.com I Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition En cinquième vous avez appris que la multiplication est distributive par rapport à l’addition : k×(c+d)=k×c +k×d Puis en quatrième, vous avez découvert la relation suivante : ( a + b ) × ( c + d ) = ac + ad + bc + bd Démonstration : on utilise la relation vue en cinquième en remplaçant k par a + b ( a + b ) × ( c + d ) = ( a + b ) × c + ( a + b ) × d = ac

est nul lorsque l'un de ses facteurs est nul » permet de connaître les solutions. Mais comment peut-on savoir qu'une équation n'a pas de solution et n'est donc pas factorisable ? Et si des solutions existent, comment peut-on les déterminer sans factorisation ? Des formules permettent de répondre à ces questions. Il faut bien les connaître pour pouvoir les appliquer sans faire d'erreur de calcul. Il ne faut pas oublier également qu'une fonction polynôme du second degré se représente toujours par une

résultat sous la forme d’une somme de termes. Règles de la distributivité Développement k(a + b) = ka + kb k(a - b) = ka – kb (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd FACTORISER : C’est donner le résultat sous la forme d’un produit de facteurs. Factorisation REDUIRE : C’est regrouper tous les termes identiques. 12x² - 4x + 6x – 2 = 12x² + 2x - 2 ATTENTION Les calculs littéraux suivent les règles de calcul des nombres relatifs : - retrait des parenthèses et changement possible des signes -

3x - 2 x 1 = 12x² - 4x + 6x – 2 = 12x² + 2x - 2 Règles de la distributivité Développement k(a + b) = ka + kb k(a - b) = ka – kb (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd FACTORISER : C’est donner le résultat sous la forme d’un produit de facteurs. Factorisation REDUIRE : C’est regrouper tous les termes identiques. ATTENTION Les calculs littéraux suivent les règles de calcul des nombres relatifs : - retrait des parenthèses et changement possible des signes - priorité de la multiplication sur l’addition

faire fonctionner des algorithmes. Les deux TP qui figurent à la fin de ce chapitre utilisent divers outils TICE : calculatrices, logiciel de calcul formel et tableur. Les notions abordées dans le chapitre 1 1. Équations du second degré 2. Factorisation et signe d’un trinôme 3. Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré C Avant de commencer Se tester avec des QCM 1 C ; 5 B et C ; 2 B ; 6 C et D ; 3 A ; 7 C. 4 C ; Se tester avec des exercices 8 a. A(x)

Polynômes du second degré Différentes formes d’un polynôme On appelle polynôme du second degré toute expression de la forme ax2 + bx + c avec a, b et c sont des nombres réels, et a ¹ 0. On parle parfo is de trinôme du second degré Exemples A(x) = x² + 8x – 9 et B(x) = -x² + 5 2 x + 3 7 sont des polynômes du second degré. Forme développée, forme factorisée, forme canonique Un polynôme du second degré peut être sous forme développée, forme factorisée, ou forme canonique. On appelle forme

1°) x2 - 6x = 0 2°) x2 - 9 = 0 5°) 3x2 - 9 = 0 4°) 2x2 + 7 = 0 Exercice 09 3°) x2 + 5x = 0 6°) 2x2 - 7x = 0 (voir réponses et correction) 1°) Déterminer des réels α et β tels que x2 - 4x + 2 = (x - α)2 + β . 2°) En déduire une factorisation de x2 - 4x + 2 , puis déterminer les solutions de l'équation x2 - 4x + 2 = 0. 3°) Déterminer des réels α et β tels que x2 - 4x + 5 = (x - α)2 + β . Que peut-on en conclure pour l'équation x2 - 4x + 5 = 0 ? Exercice 10 (voir réponses et

Fonctions polynômes de degré 2 Définition : une fonction trinôme est une fonction polynôme du deuxième degré , càd dont l’expression peut se mettre sous la forme développée f(x) = ax²+bx+c , où a,b,c sont des nombres réels données Objectifs : - étude de la fonction de référence : la fonction « carré » - Différentes formes pour l’écriture de l’expression des fcts trinômes ; utilité de chaque forme : sens de variation ; résolution d’inéquations I. La fonction de référence : la fonction « carré

Exercice 131 1.a. 1.b. Méthode Conseil Pour trouver tous les points d'ordonnée 5 sur la courbe , on peut tracer la droite d'équation et repérer tous ses points d'intersection avec la courbe . On lit ensuite leurs abscisses : ce sont les solutions. Les solutions de l’équation sont et . Suite Exercice 131 1.c. . Méthode Conseil Bien comprendre le raisonnement : le point d'abscisse de a pour coordonnées . Le point d'abscisse de a pour coordonnées Dire que c'est dire

Correction DM 1 Exercice 1 : On modélise la situation en se plaçant dans un repère orthonormé. La parabole est la représentation graphique d’une fonction du second degré que nous appellerons f. On peut envisager la situation sous deux angles : D’après les informations de l’énoncé, ce trinôme a deux racines 0 et 160, f peut donc s’écrire sous forme factorisée : fx=a(x-0)(x-160). On sait de plus que le sommet S de la parabole a pour ordonnée 80 et se situe sur l’axe de symétrie de la parabole