Fonction convexe

Conditions de KKT :  L(x,λ,μ)=J(x)+ λigi(x)+ μifj(x) 1≤i≤m 1≤j ≤p (1≤i≤m), (1≤j ≤p), (1≤j ≤p), (1≤j ≤p),  ∇xL(xmin, λ, μ) = 0, fj(xmin) ≤ 0 μ≥0  j  μjfj(xmin) = 0 2.4 Optimisation convexe Optimisation convexe (i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) ; (v).   g(x)=0 i min  La notion de convexité possède un rôle privilégié en théorie de l’optimisa- tion car elle permet d’obtenir des conditions globales d’existence, mais aussi par l’existence de conditions nécessaires et suffisantes d’optimalité

mati`res e 1 INTRODUCTION 1.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 L’ESPACE EUCLIDIEN 2.1 Propri´t´s alg´briques . ee e 2.2 Propri´t´s g´om´triques ee e e 2.3 Propri´t´s topologiques ee 2.4 Exercices . . . . . . . . 3 FONCTIONS 3.1 D´finition e 3.2 Propri´t´s ee 3.3 Exercices 3 4 5 5 8 12 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Université Lumière Lyon2 Sciences économiques et gestion Outils Mathématiques pour les S.E.S H. Lample CHAPITRE 1 Fonctions d’une variable réelle L’objet de ce chapitre est d’appliquer les notions étudiées au lycée (en particulier la dérivation) aux situations économiques. L1 –Semestre 1 Année universitaire 2014-2015 Dérivation locale Partie I Dérivation Rappels et compléments f est une fonction définie sur un intervalle Ι et a ∈ Ι. Nombre dérivé en a Tangente à la courbe f est dérivable en a si le

. I.1 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . I.2 Propriétés des fonctions continues . . . . . I.3 Propriété des valeurs intermédiaires . . . . I.4 Fonctions semi-continues . . . . . . . . . . I.5 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . I.6 Équations fonctionnelles . . . . . . . . . . I.7 Fonctions continues sur un espace métrique Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . I.2 Propriétés des fonctions continues . . . . .

49 6 FONCTIONS CONTINUES 53 6.1 La notion de continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 e 6.2 Polynˆmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 o 6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 ´ ´ 7 PROPRIETES DES FONCTIONS CONTINUES 7.1 Propri´t´ des ensembles ouverts . . . . . . . . . . . ee 7.2 Propri´t´ des valeurs interm´diaires . . . . . . . . ee e 7.3 Propri´t´ des valeurs extrˆmes . . . . . . . . . . . ee e 7.4 Fonctions inverses

pierrekopp.com/ Blogs : http://www.ecopublix.eu/ http://econoclaste.org.free.fr/ http://quedisentleseconomistes.blogspot.com/ Outils mathématiques à connaître : 1) Etude d’une fonction : - calcul de la dérivée première (fonction croissante si f’(x)≥0 et décroissante si f’(x)≤0) - calcul de la dérivée seconde (fonction convexe si f’’(x)≥0 et concave si f’’(x) )≤0) - recherche des extremums : recherche des points d’annulation de la dérivée et définition du type d’extremum (maximum si f’’(x)<0 et minimum

Cours d’Analyse e Licence 1`re ann´e – 2008/2009 e Nicolas Prioux Universit´ Paris-Est Marne-la-Vall´e e e Table des mati`res e I 1 1.1 Fonctions ` une variable a Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symboles Math´matiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’évolution du prix du lingot d’or entre 2006 et 2011. EXERCICE ( 1,5 points ) 2 On a tracé ci-dessous, les courbes représentatives de trois fonctions f , g et h définies sur R. Cf -3 -2 -1 y y 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 y Cg 1 2 x -3 -2 -1 0 Ch 1 2 x 1. Une seule de ces trois fonctions est une fonction exponentielle de base q. Laquelle est-ce ? 2. Quelle est la valeur du réel q ? EXERCICE ( 2 points ) 3 Simplifier les expressions suivantes

dans les le¸ons suivantes : e e e e e c – Fonctions monotones, fonctions convexes, exemples et applications, – Parties convexes, fonctions convexes d’une ou plusieurs variables, applications – Barycentres dans un espace affine r´el de dimension finie ; convexit´. Applications. e e mais aussi, entre autres, – Applications diff´rentiables d´finies sur un ouvert de Rn . Exemples et applications. e e – Probl`mes d’extremums. e – Continuit´ et d´rivabilit´ des fonctions r´elles d’une variable r´elle. Exemples

étude des ensembles et des fonctions convexes, constitue une branche de la géométrie et de l'analyse qui unie des phénomènes à première vue totalement dissemblables. Elle intervient à divers niveaux dans des branches très variées des mathématiques (théories des nombres, problèmes combinatoires, théories des jeux, optimisation, analyse fonctionnelle... ), de la phisique et aussi en économie. Minkowski (1864-1909) fut le premier à étudier systématiquement les ensembles convexes et ses oeuvres contiennent