Fonction de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables 2.6 Extrema locaux et globaux On veut étudier le comportement d’une fonction de plusieurs variables. Il est plutôt naturel de se demander si une telle fonction admet des va- leurs extrémales : des minima (valeurs les plus petites) ou des maxima (valeurs les plus grandes). On les appelle extrema de la fonction. Les extrema d’une fonction peuvent être globaux ou locaux . Un minimum (resp. maximum) global d’une fonction est la plus petite ( resp. la

Université Claude Bernard, Lyon I 43, boulevard 11 novembre 1918 69622 Villeurbanne cedex, France Licence Sciences, Technologies & Santé Spécialité Mathématiques L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr Cours d’Analyse III Fonctions de plusieurs variables 1 2 Table des matières 1 Notion de topologie dans Rn 1.1 Espaces métriques, définition de la distance . . . . . . . . 1.2 Boules ouvertes, fermées, sphères et parties bornée . . . . 1.3 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . .

Notions: * Fonction de demande : la fonction de demande est définit par une relation entre le prix d’un bien et la quantité acheté par les consommateurs. Représentation graphique : la courbe de demande est principalement décroissante donc sa dérivée est inférieure à 0. Il existe 3 raisons à cette décroissance de la demande : * raison relative : lorsque le prix d’un bien augmente, toute chose égale par ailleurs, mon revenu diminue. * L’effet revenu  * L’effet de substitution :

d’une fonction d’une variable o Fonctions exponentielles et logarithmes - Propriétés - Dérivée o Matrices - Somme et produit de matrices - Déterminant d’une matrice carrée - Inversion d’une matrice carrée inversible ( 2 méthodes : matrice adjointe et matrice compagnon ) - Écriture matricielle d’un système linéaire o Équations linéaires Systèmes d’équations linéaires - Résolution d’un système linéaire par la méthode de Gauss-Jordan (attention : exprimer des variables en fonction d’autres

Chap3 : Fonctions numérique à deux variables 1 2 3 4 5 Produit cartésien Fonctions de deux variables Limites et continuité Dérivées partielles Extremums - optimisation Pr. Otheman Nouisser ENCG- Kénitra, 2014 Définition Application Soient E et F deux ensembles quelconques non vides. On appelle produit cartésien de E par F et on note E × F , l’ensemble défini par : E × F = {(x, y )/x ∈ E et y ∈ F }. Exemple R2 = R × R R+ × R− = {(x, y )/x ≥ 0 et y ≤ 0} R3 = R × R × R Pr. Otheman Nouisser

Intégrale à paramètre   Supposons que f soit une fonction de deux variables définies sur I×J, où I et J sont des intervalles, à valeurs dans R. On peut alors intégrer f par rapport à une variable, par exemple la seconde, sur l'intervalle J. On obtient une valeur qui dépend de la première variable. Plus précisément, on définit une fonction F sur I par On dit que la fonction F est une intégrale dépendant du paramètre x. On parle plus communément d'intégrale à paramètre. Bien sûr, on ne peut

Optimisation sous contraintes 6.1 Fonction de deux variables avec une unique contrainte Soit U un ouvert non vide de R2 . On cherche à optimiser f : U → R sous la contrainte h(x) = 0 où h : R2 → R est une fonction de classe C 1 . Théorème 6.1.1 (des fonctions implicites, admis). Soient U un ouvert non vide de R2 , une fonction f : U → R de classe C 1 et (x0 , y0 ) ∈ U tel que : f (x0 , y0 ) = 0 et ∂f (x0 , y0 ) = 0. ∂y Alors il existe δ, ε > 0 et une fonction g :]x0 − δ, x0 + δ[→]y0 − ε

Chapitre 1 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 1 Définitions et notations Tout n-uplet de réels (x1, x2, ..., xn) correspond dans l’espace à n dimensions noté Rn : * à un point X (x1, x2, ..., xn) * à un vecteur colonne X =
 x1 x2 ... xn   Une fonction numérique f de n variables réelles est une application d’un ensemble Df inclus dans Rn dans R . Elle fait correspondre à tout n-uplet de réels X= (x1, x2, ..., xn) une image réelle y = f(X) = f(x1, x2, ..., xn) 1.1 Exemple

COURS DE CALCUL DIFFERENTIEL ANNEXE 1 : Etude des extremums locaux des fonctions numériques de plusieurs variables réelles. Théorème : Soient U un ouvert de (p ,[pic]: U[pic]( de classe C², [pic][pic]U un point critique de[pic]. Notons Q la forme quadratique définie sur (p par : [pic]h = (h1,…,hp) [pic](p , Q(h) = [pic]hi.hj.[pic]. Si Q est positive et non dégénérée, alors [pic] admet un minimum local strict en [pic] Si Q est négative et non dégénérée, alors [pic] admet un maximum

relations qui existent entre des variables économiques. ⇒ Les relations entre ces variables sont décrites mathématiquement par des fonctions. Plus précisement, on cherche à comprendre dans quelle mesure un changement de valeur d’une variable affecte-t-elle l’autre variable ? ⇒ L’effet d’une telle variation s’obtient grâce à la dérivée de la fonction. En réalité une variable dépend souvent de plusieurs variables. ⇒ On parlera alors de fonctions à plusieurs variables et de dérivées partielles.