Fonction polynôme

d’intégration numérique. Dans un premier temps, on se concentre sur trois méthodes de calcul d’intégrale : - La méthode des trapèzes. - La méthode de Simpson. - La méthode de Gauss-Legendre. Durant toute la suite de notre réflexion, on suppose une fonction f continue et positive sur un intervalle [a, b] dont on veut calculer l’intégrale : I) Méthode des Trapèzes: Principe : La méthode d'intégration approchée, dite des trapèzes, décrite par Newton & Cotes, consiste à remplacer

TD d’intégration Intégration numérique Préparation à l’agrégation de mathématiques, ENS Cachan Généralités 1 Principe des méthodes numériques Soit f : [a, b] → R une fonction continue. On se propose de chercher des formules approchées pour calculer l’intégrale ab f (x)dx. On choisit tout d’abord une subdivision a = a0 < a1 < · · · < ak = b du segment [a, b]. La formule de de Chasles donne k−1 b ai+1 f (x)dx. f (x)dx = a ai i=0 On est donc ramené au problème d’évaluer l’intégrale de f sur

de u  U dans la base (E1, E2, E3, E4) a −b 0 0  b c 0 0  F 0 = U =  0 0 a −b  0 F 0 0 b c 2 2 d) Le polynome caract´ristique de U est : χU (x) = x2 − α2 x − β2 = (χF (x)) e pour tout entier n , si F n = αnF + βn I alors U n = αn U + βn I donc si P est un polynome , (P (U ) = 0) ⇔ (P (F ) = 0) Or une matrice carr´e est diagonalisable si et seulement si elle annule un polynome scind´ a racines simples e e` Donc U est diagonalisable si et seulement si F est diagonalisable F est une matrice

matrices carrées, la matrice diag(M1 , . . . , Mk ) désigne la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont M1 , . . . , Mk . Si E est un K-espace vectoriel, on note idE l’application identité sur E. Enfin, on note K[X] la K-algèbre des polynômes à coefficients dans K. On dit qu’une matrice A de Mp (K) est «toute-puissante sur K» et on notera en abrégé TPK si, pour tout n ∈ N∗ , il existe une matrice B de Mp (K) telle que A = B n . On note Tp (K) l’ensemble des matrices de Mp (K) toutes-puissantes

Vérifier que f est un endomorphisme de E puis déterminer Ker f , Im f et les valeurs et vecteurs propres de f . Correction [005655] Exercice 6 *** Soit A une matrice rectangulaire de format (p, q) et B une matrice de format (q, p). Comparer les polynômes caractéristiques de AB et BA. 1 Correction [005656] Exercice 7 *** I Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. On suppose que u et v commutent et que v est nilpotent. Montrer que det(u + v) = detu. Correction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation Polynomiale 2.1 Formule(s) de Taylor . . . . . . . . 2.2 Interpolation de Lagrange . . . . . . 2.3 Forme de Newton . . . . . . . . . . 2.4 Polynômes orthogonaux . . . . . . 2.4.1 Polynômes de Legendre . . 2.4.2 Polynômes de Tchebychev . 2.5 Approximation par Moindres Carrés 2.6 Meilleure Approximation . . . . . . 2.7 Oscillations de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Stabilité des asservissements linéaires échantillonnés I- Condition fondamentale de la stabilité On rappelle qu’un système continu est stable si et seulement les pôles de sa fonction de transfert G(p)=N(p)/D(p), qui sont les racines de l’équation D(p) = 0, sont tous à partie réelle négative. Or à chaque élément simple de la décomposition de G(p), il apparaît un pôle pi auquel correspond un pôle simple zi = eTpi pour G(z)=Z[G(p], compte tenu de la relation fondamentale z = e Tp, reliant les variables

Equations différentielles du premier ordre Une équation différentielle du premier ordre est une expression qui décrit une relation entre une fonction à une variable et sa dérivée première : y(t) ˙ = f (y(t)) Exemple : y(t) ˙ = 2y(t) Cette équation impose pour être résolue de trouver une fonction y(t) dont la dérivée première est égale à deux fois cette fonction. Une solution de cette équation est y(t) = e2t puisque sa dérivée y(t) ˙ est 2e2t = 2y(t). Remarquons, dans ce cas, que pour n’importe quelle

bijective, illustrée par l’introduction des fonctions inverses des fonctions trigonométriques. Au Chapitre 2 on introduit le calcul matriciel et on traite en détail des formules classiques concernant les changements de base. Au Chapitre 3 on rappelle les principales propriétés des déterminants, et on donne en annexe une introduction aux notations de la Physique (convention de sommation sur l’indice répété, etc. . .). Au Chapitre 4 on introduit le polynôme caractéristique pA d’une matrice carrée A,

DIAGONALISATION EXERCICE 1. E = R3 est rapporté à sa base canonique e = {e1 , e2 , e3 }. f est l’endomorphisme de matrice M dans cette base :  1 −1 1    M =  −2 0 −1    1   −2 −2 1. 2. 3. 4. 5. 6. Déterminer son polynôme caractéristique. Calculer ses valeurs propres. Donner une base des sous-espaces propres. Décider si f est diagonalisable. Donner éventuellement l’expression diagonalisée. Vérifier en utilisant les matrices de changement de base. EXERCICE