Forme normale

15 I- Loi normale :....................................................................................................................................15 1- Définition :...................................................................................................................................15 2- Loi normale centrée réelle : .........................................................................................................15 3- Fonction de répartition d’une variable normale continue

(et suivant une loi normale) des fréquences empiriques d'apparition du Pile ... 2.2 Comportement des moyennes empiriques calculées sur les échantillons Théorème 1 Soit une population dont une caractéristique X suit une loi de moyenne m et d'écart-type σ. Soit Mn la variable aléatoire qui, à un échantillon de taille n prélevé dans cette population, associe la moyenne empirique de cette caractéristique dans cet échantillon. σ Alors, si n est assez grand, Mn suit une loi normale N m; √ . n Ce

aléatoires, ils changent suivant le produit. Ces variables suivent la loi de Gauss, caractérisée par deux paramètres. Cette loi aussi nommée « loi normale » est très célèbre et très souvent utilisée car elle résume plusieurs distribution statistiques observées. La représentation graphique de sa fonction de densité, continue et symétrique, présente une forme simple : « la courbe gaussienne » dite « en cloche ». Son utilité est d’autant plus grande car elle permet l’utilisation de différentes techniques

qui nous intéresse afin d'obtenir leur avis sur un produit, un service, ou plus généralement connaître leurs attentes, leurs habitudes, leur état d'esprit à un moment donné... On les qualifie de quantitatives car elles permettent de quantifier sous forme de pourcentage les réponses aux questions et d'effectuer des tris croisés et différentes analyses sur ces résultats. Par exemple, on pourra aboutir à la conclusion que 47% des femmes ont acheté au moins un produit issu du commerce équitable au cours

. B.5 Dérivation matricielle . . . . . . . . . . . . C Rappels de probabilité C.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2 Vecteurs aléatoires gaussiens . . . . . . . . C.3 Tables des lois usuelles . . . . . . . . . . . C.3.1 Loi Normale X ∼ N (0, 1) . . . . . C.3.2 Loi de Student X ∼ Tν . . . . . . . C.3.3 Loi du Khi-deux à ν ddl X ∼ χ2 . ν ν1 C.3.4 Loi de Fisher à ν1 , ν2 ddl X ∼ Fν2 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(ou caract´ristiques num´riques). Dans cette optique, aucune hypoth`se de e e e e type probabiliste n’est faite sur les donn´es consid´r´es (par exemple, il n’est pas n´cessaire e e e e de supposer que les donn´es sont les observations d’une loi normale). Les trois directions e signal´es ci-dessus (pr´sentation, repr´sentations graphiques et calcul de r´sum´s num´riques) e e e e e e serviront de guide dans la suite de ce cours. On notera que les termes de statistique descriptive, statistique exploratoire

pour une part importante dans l'appréciation des copies. L'usage des calculatrices est autorisé. Le formulaire officiel de mathématique est joint au sujet. EXERCICE N° 1 ( 7 points) Pour cet exercice, on fournira tous les résultats sous leur forme décimale, arrondie à 10 – 3 près. Dans une ville dont la population est très jeune, on sait qu'il y a 39,2 % de mineurs (et par conséquent 60,8 % d’adultes). On considère des échantillons non exhaustifs ( tirage au hasard et avec remise ) de 100 personnes

On a vn=voqn = 3 x 0,4n (qui n’est pas égal à 1,2n !!) b. On a -1 < 0,4 < 1 donc lim vn = 0 c. On a ensuite un = 5 + vn donc lim un = 5 + 0 = 5, ce qui démontre la conjecture faite au 3. Exercice 3 : 1. L’équation différentielle est de la forme y’+ay=b donc y = Ce-at + b/a = Ce-0,04t + 0,8 / 0,04 = C e-0,04t + 20 avec C réel La condition initiale g(0)=100 donne C + 20 = 100 donc C= 80 puis y = 80 e – 0,04t + 20 2.a. Au bout de t=30min, on a y = 80 e – 0,04x30 + 20 = 44,0955…> 37°C donc

ou de l'anthropologie modernes, résulte avant tout du développement des modèles fonctionnalistes et des théories de l'action. Déjà la conception du "champ" (field-theory) de K. Lewin en psychologie sociale, elle-même dérivée de la psychologie de la forme (gestalt) préludait à l'essor contemporain d'approches systémiques elles-mêmes largement inspirées de la cybernétique. Ainsi paradoxalement la notion de complexité viendrait de l'ingénierie, pour s'en libérer presqu'aussitôt. C'est peut-être pourquoi

4 obtenus. Dans √ cas ce Y ∼ B(90, 1/6). Le nombre moyen de 4 est donc E[Y ] = 15 et l’écart-type vaut σ(Y ) = 12.5. La loi de Y est illustrée figure 2.6 à droite. Le Théorème Central Limite explique pourquoi on obtient une forme de courbe “en cloche” typique de la loi normale (cf. fin de Chapitre 3). 2.5.4 Loi géométrique La loi géométrique est la loi typique du temps d’attente avant apparition d’un certain événement. Définition 2.13 (Loi géométrique) On dit que X suit une loi géométrique