Formule d'Euler-Maclaurin

Soit f : [a, b] → R une fonction continue. On se propose de chercher des formules approchées pour calculer l’intégrale ab f (x)dx. On choisit tout d’abord une subdivision a = a0 < a1 < · · · < ak = b du segment [a, b]. La formule de de Chasles donne k−1 b ai+1 f (x)dx. f (x)dx = a ai i=0 On est donc ramené au problème d’évaluer l’intégrale de f sur un petit segment [ai , ai+1 ]. Ce calcul est effectué au moyen de formules approchées du type : li ai+1 f (x)dx ≈ ai ωi,j f (ξi,j ), ξi,j ∈ [ai

fonction affine f sur IR, donc du type :" f(x) = Ax + B" , pour tout couple (a;b) de réels, on a, comme le montre un calcul sans difficulté particulière : f(x)dx = [A + Bx = (b - a)x , car  b 2 − a 2  =  b − a   b  a  Cette formule d'intégration est à rapprocher de celle qui donne l'aire d'un trapèze, si on interpréte, dans le cas où f est >0 sur [a ; b], l'intégrale de f comme l'aire du trapéze que définissent : • • • la courbe de f, l'axe des abscisses les deux droites d'équations

libre Formule de Stirling L’objectif de ce devoir est de trouver un ´quivalent de n! e On se propose de d´montrer la formule de Stirling : e √ n! ∼ nn e−n 2πn +∞ ————— I Constante d’Euler —– 1 1 On consid`re la s´rie de terme g´n´ral un = − ln(1 + ) n ≥ 1. e e e e n n 1. Montrer que la s´rie e un converge 2. En d´duire que : e n 1 lim ( − ln(n) ) = C n−>+∞ k k=1 o` C est une constante r´elle, C > 0. C est la constante d’Euler. u e II Formule de Stirling

consiste à utiliser la linéarité pour séparer l'intégrale d'une somme en une somme d'intégrales. L'exemple le plus simple est celui des polynômes. On peut aussi intégrer des polynômes en et , ou bien et . On utilise pour cela les formules d'Euler, et les propriétés de l'exponentielle (réelle ou complexe). Le principe est le suivant : tout polynôme en et est une combinaison linéaire de termes de la forme , qu'il s'agit de linéariser, en les exprimant eux-mêmes comme

Trigonométrie cos x = e e 2 ix −ix Formules d'Euler : eix −e−ix sin x= 2i et    Formules toujours utiles à connaître :  sin ab=sin a cos bsin b cos a cos  ab=cos a cos b−sin asin b 3 2 Exercices : Linéariser   A=cos x   et   B=cos x sin x Emilie Cravero Avril 2009 Transformations mathématiques Révisions II. Séries de Fourier Principe: Écrire une fonction 2  ­ périodique comme une somme de cosinus et de sinus: f  t = Formules à connaître par cœur : a0 2 ∞  ∑ an

Devoir maison no 1∗ : les nombre complexes Exercice 1 On considère l’application f qui à tout nombre complexe z différent de 1, associe le nombre complexe 2 − iz f (z) = . 1−z L’exercice étudie quelques propriétés de f . − → Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O , → , − ) d’unité graphique 2 cm, dans u v lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions 1) et 2). A est le point d’affixe 1 et B celui d’affixe −2i. 1) On pose z = x + iy avec x et y réels. écrire f (z) sous

rectangle.Formules fondamentales.Relation trigonométriques dans un triangle quelconque.Valeurs des sinus, cosinus et tangentes des angles courrants.Formules d'addition.Relations entre les fonctions trigonométriques des angles compris entre 0 et pi/2.Formules de l'angle double et moitiéPuissances des fonctions trigonométriques et linéarisations.Sommes, différences et produits des fonctions trigonométriques.Développements en séries entières.Relations entres les fonctions trigonométriques inverses. -------------------------------------------------

“débarrasser” d’un dénominateur écrivez z1 z2 = z1 z2 · zz¯¯22 = z1 z¯2 . |z2 |2 Indication pour l’exercice 2 Il faut bien connaître ses formules trigonométriques. En particulier si l’on connait cos(2θ ) ou sin(2θ ) on sait calculer cos θ et sin θ . Indication pour l’exercice 3 Passez à la forme trigonométrique. Souvenez-vous des formules sur les produits de puissances : eia eib = ei(a+b) et eia /eib = ei(a−b) . Indication pour l’exercice 4 Pour calculer un somme du type eiu + eiv

Exemple π I = 02 sin4 xdx. 2 méthodes : (1) la première, en utilisant les formules de trigonométrie de 1ère : dicile et long (on linéarise deux fois). D'abord, on utilise la formule sin2 a = 1−cos(2a) , ce qui donne 2 b b I = 0 π 2 1 − cos(2x) 2 π 2 2 dx = 1 4 [1 − 2 cos(2x) + cos2 (2x)]dx 0 1+cos(2a) , 2 Mais on doit ensuite linéariser le cosinus au carré, en utilisant la formule cos2 a = ce qui donne I = = 1 4 0 π 2 1 − 2 cos(2x) + 0

sont 2π-périodiques, indéfiniment dérivables sur R, la fonction cos étant paire et la fonction sin impaire, avec : ∀t ∈ R, cos (t) = − sin (t) et sin (t) = cos (t) . On a : ∀x ∈ R, cos2 (x) + sin2 (x) = 1. Exercice 23.5 Retrouver les usuelles formules de trigonométrie. Exercice 23.6 Retrouver les développements en série entière de cos et sin . 23.2.2 Le lien avec le nombre π des géomètres Exercice 23.7 Montrer que le cercle unité du plan euclidien peut être paramétré par : t → (cos