Formule du binôme généralisée

Approximation polynômiale uniforme-Polynômes de Bernstein [pic] On considère les suites suivantes : [pic] Question 1 : Montrons que [pic] [pic] On reconnaît la formule du binôme de Newton, [pic] Dans notre cas, [pic] d’où : [pic] On veut montrer que, [pic] [pic] [pic] On pose[pic]. [pic] On vérifie sur Scilab pour le cas particulier où : x=0,1 et n=3 x=0.1; n=3; z=(factorial(n

Exemple π I = 02 sin4 xdx. 2 méthodes : (1) la première, en utilisant les formules de trigonométrie de 1ère : dicile et long (on linéarise deux fois). D'abord, on utilise la formule sin2 a = 1−cos(2a) , ce qui donne 2 b b I = 0 π 2 1 − cos(2x) 2 π 2 2 dx = 1 4 [1 − 2 cos(2x) + cos2 (2x)]dx 0 1+cos(2a) , 2 Mais on doit ensuite linéariser le cosinus au carré, en utilisant la formule cos2 a = ce qui donne I = = 1 4 0 π 2 1 − 2 cos(2x) + 0

P = ∑ ak X k un polynôme à coefficients dans K. Démontrer que pour P( ) ∈N = k ∑ Ak ak X k− 10. * On se propose de redémontrer la formule de Taylor sans utiliser de récurrence. Soit P = ∑ ak X k un polynôme et a ∈ K. En écrivant P= ∑ ak [(X − a) + a]k en utilisant la formule du binôme et l’exercice 9, redémontrer la formule du binôme Exercices supplémentaires 11. Résoudre dans K[ X ] P = P P . On commencera par s’interresser au degré des éventuelles solutions . 12. Soit P

: Soit f une fonction développable en série entière sur ] − r, r[. La fonction f est ∞ de classe C sur cet intervalle et les coecients an de son développement sont uniques et déterminés par la formule : ∀n ∈ N, an = f (n) (0) n! 4 8 Développements classiques Formule du binôme généralisée : Pour tout réel α, la fonction x → (+x)α est développable en série entière sur ] − 1, 1[. Son développement est donné par : ∞ ∀x ∈] − 1, 1[, (1 + x) = 1 + n=1 α α(α

démontrées à l'aide de raisonnements géométriques puis ont été généralisées à des puissances supérieures par des calculs algébriques. On démontre de même la troisième identité remarquable :La même technique de démonstration que celle utilisé pour les formules de degré 2 montre que, si a et b désignent toujours deux nombres : Appliqué encore une fois, on obtient : On peut la généraliser à un degré n quelconque, à l'aide de la formule du binôme : Les coefficients de l'expression, considérée comme

RECURRENCES, BINOME ET 1. : Sommes des puissances p-ièmes des n premiers entiers. n n n n n(n + 1) Posons : an = k= ; bn = k2 ; cn = k3 ; dn = k4 . 2 k=1 k=1 k=1 k=1 n (a) En remarquant que cn+1 = 3 (k + 1) , montrer que cn+1 = cn + 3bn + 3an + n + 1 ; en déduire la valeur de bn . k=0 (b) Montrer de même que dn+1 = dn + 4cn + 6bn + 4an + n + 1 ; en déduire la valeur de cn . 2 n (n + 1) (2n + 1) n(n + 1) ; cn = Rep : bn = 6 2 (c) * Généralisation : si Snp = n kp , montrer la formule de récurence

reflétant et a développé une théorie de la couleur basée sur l'observation qu'un prisme décompose la lumière blanche dans les nombreuses couleurs qui forment le spectre visible. Il a également formulé une loi empirique de refroidissement et a étudié la vitesse du son. De plus, il a démontré la formule du binôme généralisée, a développé ce qu'on appelle "la méthode de Newton" pour rapprocher les zéros d'une fonction, et a contribué à l'étude des séries entières. Newton reste très influent aux scientifiques

particulièrement la dimension langagière que je vais développer dans mes pistes pédagogiques. En tenant compte des difficultés que peut poser ce livre par exemple l’ordre de lecture non défini, un vocabulaire spécifique et précis une intertextualité généralisée et des références culturelles nbeuses. Pistes pedago Cm2  Les pistes pédagogiques que je vais vous présenter sont destinées à des CM2, la liste officielle précise d’ailleurs que le niveau de difficulté est de 2-3. Il me semble indispensable

Université du Québec Sur une représentation spectrale des solutions de l’équation de Sturm-Liouville et ses puissances généralisées Jessica Turcotte Mémoire présenté comme exigence partielle à l’obtention De la maîtrise en mathématiques et informatique appliquées Trois-Rivières, Canada Septembre, 2018Ce mémoire a été évalué par un jury composé de : M. Sébastien Tremblay, directeur de maîtrise Département de mathématiques et informatique UQTR M. Dominic Rochon, membre du jury Département de mathématiques

PCSI 2009-2010 Programme de Mathématiques Lycée Marceau 1. Fonctions classiques A) Dérivation 1 - Définition. Domaines de définition. 2 - Rappel de quelques formules. 3 - Applications de la dérivation : sens de variation et tangentes. 4 - Dérivation des fonctions composées. 5 - Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle. Théorème de dérivation des fonctions réciproques. B) Logarithmes et exponentielles 1 - Rappels sur le logarithme népérien : définition, propriétés algébriques