Géométrie sphérique

tout point A admet une image A’ dans une condition de stigmatisme approché : les différents chemins optiques (AA’) ne diffèrent que d’une quantité petite par rapport à la demi longueur d’onde. II. ETUDE DES MIROIRS SPHERIQUES 1. Caractère convergent ou divergent d’un miroir sphérique a. Miroir convexe Un miroir convexe (i.e. plus épais au centre que sur les bords) est divergent. b. Quel miroir (m1) ou (m2) est-il divergent ? Le miroir (m2) est convexe, donc divergent. Jean Le Hir, 14 janvier 2008

er y 2 1 Calcul vectoriel 1.1.3 Coordonnées sphériques Vecteurs unitaires : er , eθ , eϕ. On définit M par la longueur r = O M et les deux angles ϕ et θ. ⎧ ⎨ x = r sin θ cos ϕ −−→ O M = r er y = r sin θ sin ϕ ⎩ z = r cos θ −−→ d O M = dr er + r sin θ dϕ eϕ + r dθ eθ −−→2 O M = r2 −−→ (d O M)2 = dr 2 + r 2 sin2 θ d ϕ2 + r 2 dθ2 z er z M θ r eθ y O x eϕ ϕ x y eϕ H Bien distinguer la coordonnée polaire r = O M et la coordonnée sphérique r = O M. 1.2. VECTEURS Dans cet ouvrage, la norme

ANGLES INSCRITS ET AU CENTRE Emilien Suquet, suquet@automaths.com I Vocabulaire D D, E et F sont trois points d'un cercle C. On dit alors que DEF est un angle inscrit dans le cercle C. F L’arc de cercle C d'extrémité D et F qui ne contient pas E est appelé arc de cercle intercepté par l'angle inscrit DEF. E D F D et F sont deux points d'un cercle C de centre O. L'angle DOF ( rentrant ou saillant ) est appelé angle au centre de C. O II Propriétés Dans un cercle,

. y eθ er r Doc. 2. Coordonnées cylindriques (r , q , z) : —➞ ➞ —➞ ➞ ➞ OH = r e r ; OM = r e r + z e z . —➞ ➞ ➞ ➞ ➞ • Coordonnées sphériques : OM = r e r ; base (e r , e q , e j ) (doc. 3). z y M ez ex x θ O z er e ϕ er eϕ eϕ r eθ ey y ϕ H u Doc. 3)a. Coordonnées sphériques. © Hachette Livre, H-Prépa Exercices, Physique, MPSI-PCSI-PTSI. La photocopie non autorisée est un délit. n r si θ M θ u H eθ r

TRIGONOMETRIE Fiche méthode Niveau : 3° La trigonométrie, c’est 3 formules que l’on applique toujours dans un triangle rectangle et qui permettent de calculer un angle ou une longueur. cos α = I. côté adjacent hypoténuse sin α = côté opposé hypoténuse tan α = côté opposé côté adjacent COMMENT CALCULER UN ANGLE AIGU Par exemple, calculer les angles aigus du triangle rectangle RTL. (Les longueurs sont données en cm)  Calcul de RLT • Il faut chercher une relation entre 3 grandeurs (une

 er +   eθ +   ez r ∂θ  ∂r   ∂z  →  ∂U  r 1  ∂ U r 1  ∂ U r * sphériques: grad U =   er +   eθ +   eϕ r  ∂θ  r sin θ  ∂ ϕ  ∂r b. Divergence: r  ∂a   ∂ a   ∂ a  * cartésiennes: div a =  x  +  y  +  z   ∂x   ∂ y   ∂z  r 1  ∂ r ar 1  ∂ aθ   ∂ az  * cylindriques: div a =  +   +  r  ∂ r  r  ∂θ   ∂ z  r 1  ∂ r 2 ar  1  ∂ a θ sin θ  1  ∂ aϕ  * sphériques: div a =   + +      ∂ θ  r sin θ  ∂ ϕ  r 2  ∂ r  r sin θ  c.

l’intégrale double:K = dS S Que représente cette intégrale? Exercice 10 Soit f: M(x,y,z) ! xz 2 : Calculer l’intégrale double K 0 = Soit B: boule de centre R RO R et de rayon 1: Que représente A = dxdydz? B Calculer A en utilisant les coordonnées sphériques 2 RR S f (M )dS ! ! Exercice 11 Calculer le ‡ux du champ de vecteurs U (M ) = (1 x2 ) i + 12 y(y+ ! ! 1) j + z(2x y) k à travers la surface S (nappe paramétrée) orientée par sa normale extérieure: x = u2 ; y = u; z = v;pour (u,v) appartenant

MATHÉMATIQUES MAT-4103 Trigonométrie I Prétest A QUESTIONNAIRE NE PAS ÉCRIRE SUR CE DOCUMENT Centre l’Accore Version du 9 mars 2005 Mat 4103 Prétest 1 Version A Le triangle ABC illustré ci-contre est rectangle en B. Le segment BH est une hauteur. B A C H Quel énoncé ci-dessous est VRAI? 2 A) tan C = m BC m AB C) tan A = m BC m AC B) sin C = m BH m BC D) cos A = m AC m AB Soit le triangle rectangle ABC ci-dessous. B c a A b C Quel groupe de relations est vrai? A) sin

PROPRIÉTÉS MÉCANIQUES DES SOLS DÉTERMINÉES EN PLACE 1.1.1 Pénétromètres dynamiques de type A Ces appareils, dits par abréviation PDA, et l’essai correspondant sont décrits dans la norme NF P 94-114 de décembre 1990. L’énergie de battage, la nature, la géométrie et les dimensions de la pointe sont normalisées ainsi que le diamètre des tiges. Ces appareils (figure 2) ont pour particularité de comporter un dispositif qui permet d’injecter une boue bentonitique (bentonite en suspension dans de l’eau) dans l’espace

1.1.1.1 Définition des principaux concepts . . . . . 1.1.1.2 Panorama des applications . . . . . . . . . . 1.1.1.3 Quelques étapes historiques . . . . . . . . . 1.1.2 Aspects géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2.1 L’image : géométrie, informations, visibilité 1.1.2.2 Estimation de pose basée vision . . . . . . . 1.1.2.3 Utilisation de l’homographie . . . . . . . . . 1.1.3 Aspects commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3.1 Problématiques théoriques . . . . . .