Gradient Rotationnel Et Divergence

Analyse vectorielle : gradient, rotationnel et divergence 1 Notions fondamentales 1.1 Opérateur 'nabla' L'opérateur 'nabla' ou ∇ est très utile en analyse vectorielle. Il permet de déterminer les notions de gradient, rotationnel, divergence et laplacien de manière simple et concise. Il se définit comme suit :  ∂     ∂x     ∂  ∇=   ∂y       ∂     ∂z  1.2 (1) Travail d'un champ vectoriel le long d'une courbe - Intégrale curviligne Soient un champ vectoriel A et

La circulation du champ sur un contour orienté Γ est notée Analyse vectorielle — Étude des champs Propriétés → − → − A (M) d l . M∈Γ ® L’opérateur gradient s’applique à un champ scalaire qu’il transforme en un champ vectoriel. ® Le signe de la circulation dépend de choix de l’orientation du contour. ® Le gradient est un vecteur polaire. Champ à circulation conservative ® Cet opérateur est linéaire : → − → − A (M, t ) · d l = 0 , → − Un champ vectoriel A (M, t

. . . . . . . . . 27 2 Analyse tensorielle 2.1 2.2 2.3 2.4 29 Gradient d’un champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.1 D´efinition intrins`eque en tant que diff´erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.2 Expressions en rep`ere orthonorm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Cas du gradient d’un champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

champ qui, à tout point de l'espace, associe un vecteur. Imaginons par exemple l'eau d'un lac. La donnée de sa température en chaque point forme un champ de scalaires, celle de sa vitesse en chaque point, un champ de vecteurs. Le gradient, la divergence et le rotationnel sont les trois principaux opérateurs différentiels linéaires du premier ordre. Cela signifie qu'ils ne font intervenir que des dérivées partielles premières des champs, à la différence du laplacien qui fait intervenir des dérivées

1.1 Le gradient 1.1.1 Définition Définition : Le gradient permet de construire un champ de vecteur à partir d’un champ scalaire. En coordonnées cartésiennes, il est donné par :  m   m   m  grad  m    uy    ux    uz  x   z   y  (1) Interprétation physique : Le vecteur grad  m  est normal aux surfaces de niveau (m = constante). Il est dirigé vers les valeurs croissantes de m. 1.1.2 Champ de gradient Définition : Un champ de vecteur a est dit champ de gradient si il existe

d’un vecteur par rapport à un axe est une grandeur scalaire, par contre le moment d’un vecteur par rapport à un point de l’espace est un vecteur (Figure2.10-b-) O O u O O B O' B O' ( ) V A V A 12/GRADIENT, DIVERGENCE ET ROTATIONNEL (i TjM j M R klTMR ) : Définitions : On dit que la fonction f ( x, y, z ) est un champ scalaire si la fonction f ( x, y, z ) est un scalaire. On dit que la fonction V ( x, y, z ) est un champ vectoriel si la fonction est vectorielle

Le flux d’un champ de vecteur à travers une surface fermée est égal à l’intégrale triple de sa divergence étendue au volume intérieur de cette surface. COMPLEMENT MATHEMATIQUE Formulaire d’analyse vectorielle Thierry ALBERTIN http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/ 4 Théorème de STOKES . . La circulation d’un champ de vecteur le long d’un contour fermé est égale au flux de son rotationnel à travers une surface quelconque s’appuyant sur ce contour. 5 Systèmes de coordonnées FIGURE

y, z, t)dxdydz ∂µ dxdydz = − ∂t − − µ→dS → v n c Jimmy Roussel dM (t) = dt (V ) (S) 1.3. Conservation de la masse 13 Lignes de courant n v dS (S) F IG . 1.5 – Conservation de la masse. D’après le théorème de la divergence on obtient : − (div(µ→) + v ∂µ )dxdydz = 0 ∀ V ∂t (V ) d’où l’équation de continuité : ∂µ − Équation de continuité : div(µ→) + v =0 ∂t 1.3.3 Cas des fluides incompressibles Rappelons que pour un fluide incompressible, la masse volumique

( a. grad) b 3. Expressions des opérateurs dans divers systèmes de coordonnées: a. Gradient: →  ∂ U r  ∂ U r  ∂ U r * cartésiennes: grad U =   ex +   ey +   ez  ∂x  ∂y  ∂z  →  ∂ U r 1  ∂ U r  ∂ U r * cylindriques: grad U =   er +   eθ +   ez r ∂θ  ∂r   ∂z  →  ∂U  r 1  ∂ U r 1  ∂ U r * sphériques: grad U =   er +   eθ +   eϕ r  ∂θ  r sin θ  ∂ ϕ  ∂r b. Divergence: r  ∂a   ∂ a   ∂ a  * cartésiennes: div a =  x  +  y  +  z   ∂x   ∂

Part I MA205: ‡ux, circulation... 0.1 Divergence, rotationnel... ! Exercice 1 Montrer que on a toujours:f étant un champ scalaire et V un champ vectoriel: ! ! div((Rot V ) = 0 ! ! ! Rot(Gradf ) = 0 ! div(Gradf ) = f= @2f @2f @2f + 2 + 2 2 @x @y @z ! Exercice 2 Soit le champ de vecteurs V (M ) = (x2 + y 2 ! ! ! ! ! (x2 z) k : calculer divV; (Rot V ; div(Rot V ) Exercice 3 Soit f : R3 ! R dé…nie par f (x) = x2 ! z) i + (2xy ! yz) j + x : + y2 + z2 ! ! ! calculer Gradf; Rot(Gradf) ; 0.2