Gradient Rotationnel Et Divergence

Deuxième année, Semestre 4, UEF 41. Volume horaire Cours Travaux dirigés Total Semestriel 18 heures 18 heures 36 heures Hebdomadaire 1h30mn 1h30mn 3h – Rappels d’analyse vectorielle (l h 30) : Opérateurs différentiels et intégraux (divergence, rotationnel, gradient, flux, circulation). – Électrostatique (3 heures) : – Rappels : Interaction électrique. Loi de Coulomb dans le vide. Champ électrique. Dipôle. Différence entre diélectriques et conducteurs. – Théorème de Gauss : Flux du champ électrique

déduire que A × (B × C) + B × (C × A) + C × (A × B) = 0. Exercice 0.4 Déterminez le vecteur η = r − r� séparant les points r� = (2, 8, 7) et r = (4, 6, 8). Déterminez la norme η = |η| et le vecteur unitaire ηˆ = η/η. Exercice 0.5 Calculez le gradient des fonctions suivantes : (a) f ( x, y, z) = x2 + y3 + z4 . (b) f ( x, y, z) = x2 y3 z4 . (c) f ( x, y, z) = ex sin y ln z. 1 Exercice 0.6 L’altitude en un point ( x, y) d’une colline est donnée (en mètres) par � � h( x, y) = 10 2xy

´ CHAPITRE 6. FORMULES INTEGRALES 50 6.1.2 Th´or`me : Travail d’un champ de gradient e e Soit f : R3 → R une fonction diff´rentiable sur un ouvert U de R3 , et soit e −→ − V = grad f son champ de gradient. Soit γ une courbe diff´rentiable de R3 , e contenue dans U et d’origine A et d’extr´mit´ B. Alors on a : e e γ V · γ dt = f (B) − f (A) On dit que le travail d’un champ de gradient ne d´pend que des extr´mit´s e e e de la courbe. preuve Il suffit de voir que la primitive

Elements d’analyse vectorielle 60 23.1 Opérateur nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 23.2 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 23.3 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 23.4 Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 23.5 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 23.6 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

coordonnées cartésiennes. I.1 Le gradient : Définition : Soit U(x,y,z) une fonction. Sur la distance d ℓ = dx x + dy y + dz z la fonction scalaire varie de U à U + dU avec dU = ∂U ∂U ∂U dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z Par définition dU = gradU • d ℓ avec gradU = ∂U ∂U ∂U x + y + z. ∂x ∂y ∂z Conclusion : Opérateur de dérivation permettant de définir un vecteur à partir d’une fonction scalaire U : gradU = ∂U x + ∂U y + ∂U z (cartésien) ∂x ∂y ∂z Exemples : Gradient de pression E = - gradV en électrostatique

équations différentielles du second ordre à coefficients constants. Module 3: Physique 1 Elément Contenu Electricité 1 1. Outils mathématiques pour la physique (OMP) Champs de grandeurs physiques - Opérateurs agissant sur des champs (gradient - divergence - rotationnel - laplacien) - Angle solide - Théorème de Stokes - Théorème d’Ostogradsky - Changement de domaine d’intégration 2. Electrostatique Charges et champs - Flux du champ électrostatique - Théorème de Gauss - Le potentiel électrostatique -

densité de courant [A/m2] Conductivité électrique [A/(Vm)] Opérateur différentiel e x ∂ ∂ ∂ + ey + ez ∂x ∂y ∂z avec : B: H: µ0 : µr : D: E: ε0 : εr : E: J: ρ: : : B = µr µ0H D = ε rε0E E = ρJ ∇ grad f = ∇f CD\SEM\Cours\Chap1.doc Gradient e x ∂f ∂f ∂f + ey + ez ∂x ∂y ∂z CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNETIQUES Page 2 div F = ∇ ⋅ F : Produit scalaire de l’opérateur différentiel ∂ ∂ ∂ Fx + Fy + F ∂x ∂x ∂x z rot F = ∇ × F : Produit vectoriel de l’opérateur différentiel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Opérateurs différentiels classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Propriétés des dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4

d’air saturée (100% d’humidité relative). Baisse de 0,5°C tous les 100 mètres. Adiabatique sèche : en dessous de 100% d’humidité relative. Quand elle s’élève, sa température baisse beaucoup plus : 1°C tous les 100 mètres. Entre les deux, il y a le gradient normal. C’est un air qui n’est pas en mouvement. Diminution de 0,65°C tous les 100 mètres. Comparaison avec les deux adiabatiques. Phénomène du föhn ou foehn : Une masse d’air s’élève et il pleut. Et quand elle redescend elle s’assèche et se réchauffe

s´ries ; e - calcul matriciel ´l´mentaire ; ee - r´solution formelle ou num´rique de syst`mes e e e d’´quations ; e - int´gration des fonctions ; e - r´solution de syst`mes d’´quations diff´rentielles ; e e e e - analyse vectorielle : gradient, rotationnel, divergence. Commandes graphiques 2D et 3D - repr´sentation de courbes et surfaces en coordonn´es e e cart´siennes, param´triques, polaires, cylindriques et e e sph´riques ; e - courbes et surfaces implicites. les limitations du syst`me seront pr´sent´es