Groupe orthogonal

= 1/2(u + u ) + 1/2(u − u∗ )). • On dit qu’un automorphisme u de E est orthogonal ssi u admet un adjoint et u∗ = u−1 . D´finitions . — On dit qu’un endomorphisme u de E est normal ssi u admet un adjoint et e u et u∗ commutent. Remarques . — • Un endomorphisme sym´trique, antisym´trique ou orthogonal est normal. e e • Clairement, si F est un sous-espace de E stable par un endomorphisme u sym´trique, e antisym´trique ou orthogonal, F est aussi stable par u∗ . On montrera (Lemme 8) que ce r´sultat est

 Melnic Mihai Groupe 01 DISTANCE D’UN POINT À UNE DROITE Critère C Travail présenté à M. Pascu École secondaire Mont-Royal Le jeudi 9 octobre 2014 Notre professeur de mathématique nous a donné à prouver la formule d’une distance d’un point et une droite,qui est , en utilisant la projection orthogonale, dont les coordonées du point sont (h,k) et la règle de la droite est Ax+By+C. (1) Hypothèse:

19.2.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.2 Orthogonal d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.3 Algorithme d’orthonormalisation de Schmidt . . . . . . 19.2.4 Calculs dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . 19.3 Produit mixte, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . 19.3.1 Produit mixte dans un espace euclidien orienté . . . . . 19.3.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Projections orthogonales . . . . . . . .

Dénitions Vecteurs orthogonaux, famille orthogonale, orthonormale Un système orthonormal est libre(démo) Th de Pythagore 1.4.2 Sous-espaces orthogonaux Dénition : orthogonalité de 2 sev, supplémentaires orthogonaux Si F est un sev de E , l'orthogonal de F est F ⊥ = {y ∈ E, ∀x ∈ F (x|y) = 0} ; c'est un sev de E F ∩ F ⊥ = {0}, F ⊂ (F ⊥ )⊥ , {0}⊥ = E , E ⊥ = {0}(démo) Si F et G sont supplémentaires orthogonaux, G = F ⊥ et F = (F ⊥ )⊥ (démo) Dénition d'un projecteur orthogonal Th (isomorphisme)

antisymétriques de Mn ( ! ) . S n + ( ! ) : l’ensemble des matrices positives de S n ( ! ) c’est-à-dire des matrices A de S n ( ! ) vérifiant : pour toute matrice X ∈ Mn ,1 ( ! ) , t X A X ≥ 0 . GLn( ! ) : le groupe des matrices inversibles de Mn ( ! ) . On ( ! ) : le groupe des matrices réelles orthogonales c’est-à-dire des matrices M de Mn ( ! ) Pour p entier naturel, ∆ p est l’ensemble des matrices de Mn ( ! ) de rang supérieur ou égal à p et vérifiant : tM M = I n . ∇ p est l’ensemble des matrices

2 n d2 (h∆i , xi ) i=1 (9) 100 où h∆i est la projection orthogonale de xi sur l’axe ∆. Cette inertie mesure la proximité du nuage des individus à l’axe. De même, l’inertie du nuage par rapport à un sous-espace vectoriel F passant par le centre de gravité g est 1 IF = n n d2 (hF i, xi ) i=1 (10) où hF i est la projection orthogonale de xi sur le sous-espace F . Soit F ⊥ le supplémentaire orthogonal de F dans Rp , alors d’après le théorème de Pythagore (cf. Figure 1 en dimension

affines 2.1 Propriètés caractéristiques d’une application affine . . . . . . 2.1.1 Définition et propriètés élémentaires . . . . . . . . . . 2.1.2 Représentation analytique d’une application affine . . 2.1.3 Composée de deux applications affines - Groupe affine 2.1.4 Points fixes d’une application affine . . . . . . . . . . 2.2 Exemples d’applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Homothétie . . . . . . . . . . . . .

représentation vectorielle, on considère très souvent comme confondus l'origine O de l'espace et le centre de gravité g. Soit donc un axe ∆ passant par O. On appelle inertie par rapport à ∆ la quantité: Si nous appelons Proj∆(Xi) la projection orthogonale de Xi sur l'axe ∆, l'inertie pourra s'écrire: On appelle inertie expliquée par un axe ∆ passant par l'origine, la quantité : D'après le théorème de Pythagore on peut dire que: I(o) = I(∆) + IE(∆). L'inertie du nuage est la somme de l'inertie

droite passant par le centre de gravité réalisant le meilleur ajustement possible du nuage c-à-d : qui conserve au mieux la distance entre les points (après projection) => droite de projection assurant une distorsion minimale. C2 = 2ème composante, orthogonale à C1 et de variance maximale. Géométriquement : C2 détermine une droite perpendiculaire à C1 (au point g), suivant un axe (perpendiculaire au 1er) d’allongement maximum. => C1 et C2 déterminent le plan principal : le meilleur plan de projection

Mais cette d´emonstration, accessible `a certains ´el`eves de premi`ere, n’est ni la seule ni la meilleure. Si l’on appelle A la projection orthogonale de A sur (M N ), le th´eor`eme de Pythagore suffit pour ´ecrire AM 2 = AA 2 + A M 2 et AN 2 = AA 2 + A N 2 , d’o` u AM 2 − AN 2 = A M 2 − A N 2 . Si l’on appelle, donc, A , B et C les projections orthogonales respectivement de A, B, C sur (M N ), on a A M 2 − A N 2 = B N 2 − B N 2 = C M 2 − C N 2 , mais A , B et C 1 appartiennent tous trois `a la