Groupe symétrique

Principaux algorithmes de cryptage Rolland Balzon Philippe Department of Computer Science SEPRO Robotique ZI les ajoncs, 85000 La roche sur Yon, France prolland@free.fr 11 juillet 2002 Table des matières 1 Cryptographie Symétrique 1.1 DES (Data Encryption Standard ) . . . . . . . . . 1.1.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Performances . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Sécurité “liée au coût des calculs”  Les outils de la cryptographie     Les clés partagées Les clés publiques et clés secrètes Les fonctions de hachage et le calcul de condensé et de signature Les nombres aléatoires Chiffrement symétrique    Emetteur et récepteur partagent une même clé secrète Tous les algorithmes de chiffrement classiques appartiennent à cette famille C'était l’unique méthode de chiffrement avant les années 1970 et l’invention des systèmes à clés publiques

unité de Mn ( ! ) . S n ( ! ) : le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de Mn ( ! ) . An ( ! ) : le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de Mn ( ! ) . S n + ( ! ) : l’ensemble des matrices positives de S n ( ! ) c’est-à-dire des matrices A de S n ( ! ) vérifiant : pour toute matrice X ∈ Mn ,1 ( ! ) , t X A X ≥ 0 . GLn( ! ) : le groupe des matrices inversibles de Mn ( ! ) . On ( ! ) : le groupe des matrices réelles orthogonales c’est-à-dire des matrices M de Mn ( ! )

⎡λ11 λ21 ⎤ 2 . . Par multiplication directe, 25 = λ11 de sorte que ⎢ 7 13⎥ = ⎢λ λ22 ⎥ ⎢ 0 λ22 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 21 ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 λ11 = 5. Alors, λ11λ21= 7, de sorte que λ21 = 7 / 5 = 1,4. Finalement, λ21 + λ22 = 13, donc λ22 = 3,322. Exercice 10 Une matrice symétrique définie positive, A, peut aussi être écrite comme A = UL, avec U une matrice triangulaire supérieure et L = U′. Ce n’est néanmoins pas la décomposition de Cholesky. On obtient cette décomposition de la matrice dans l’exercice 9. En utilisant la

X. Matrices - Déterminants - Systèmes d'équations 1. Introduction. 1.1 Exemple Afin de récolter de l'argent pour le camp, un groupe de guides vend des galettes et des truffes au chocolat. La première patrouille a vendu 10 paquets de galettes et 8 paquets de truffes. La seconde patrouille a vendu 12 paquets de galettes et 10 paquets de truffes. Et enfin la troisième patrouille a vendu 15 paquets de galettes et 5 paquets de truffes.  10 8    Le résultat de ces ventes peut être représenté

plus en plus répandu : gouvernements, ministères, écoles, entreprises... Même les poids lourds de l’informatique s’y mettent : IBM 1- Cryptographie et GNU/Linux Les algorithmes de chiffrement : - symétriques - asymétriques - de hachage 1- Cryptographie et GNU/Linux Algorithmes symétriques Exemples : AES, DES, 3DES, IDEA, BLOWFISH, TWOFISH ... Longueur des clés : 56 bits (faible), 128 (correct), 256 (bon) Une seule clé K pour chiffrer et déchiffrer Nécessité au préalable de partager

– M. Souissi – AFNIC 2002 - Page 1/11 I. Introduction La sécurisation du DNS (DNSSEC) peut être considérée sur deux plans : - Sécurisation de la communication entre deux serveurs avec TSIG au moyen d’ secret partagé un (cryptographie symétrique): § transferts de zones entre un master et un slave ou entre 2 slaves, § mise à jour dynamique (Dynamic Update) vers un master depuis d'autres serveurs (DHCP, ...), § requêtes et réponses entre 2 serveurs (par exemple entre 2 serveurs récursifs

que si x, y et z sont trois éléments de S, (x ∗ y) ∗ z et x ∗ (y ∗ z) x + y + z + xyz sont tous deux égaux à . Il est clair que 0 est neutre pour la loi ∗ et que tout élément 1 + xy + xz + yz x de S admet −x pour symétrique selon cette loi, qui est donc bien une loi de groupe (évidemment commutatif). Exercice 3 Il suffit de montrer que tous les éléments non nuls de A sont inversibles. Soit a ∈ A non nul et soit ϕ l’application de A dans A définie par : ϕ(x) = ax. ϕ est injective, en effet

à α ? Remarque : on demande de ne pas utiliser le résultat de la question 4. III. THÉORÈMES d’APOLLONIUS On rappelle que si B = (a1 , a 2 , ..., a n ) est une base de E et si f est une forme bilinéaire symétrique sur E × E , la matrice de f dans la base B est la matrice symétrique S de M n ( ) définie par : S = ( f (ai , a j ) ) . Par ailleurs, si x et y sont deux vecteurs de E où X et Y sont les matrices de M n ,1 ( f ( x, y ) = t X S Y . ) représentant leurs composantes dans la base

linéaire V- Applications linéaires injectives et surjectives VI- Rang d’une application linéaire Chapitre 3 : Matrices I- Généralités (définition, matrices particulières) II- Matrices carrées 1. Matrice diagonale, Matrice triangulaire 2. Matrice symétrique, Matrice antisymétrique III- Opérations sur les matrices 1. Addition, Multiplication, Puissance 2. Propriétés de l’ensemble des matrices 3. Matrice inversible IV- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan V- Matrice associée à un système