Groupe symétrique

avec les applications linéaires. • Définir le produit matriciel en rapport avec la composition des applications, étudier les propriétés de ce produit et les applications. Structure d’algèbre sur n ( ). • Étudier les matrices carrées inversibles : le groupe GLn ( ). • Étudier les formules du changement de bases pour les vecteurs et les applications linéaires. • Définir le rang d’une matrice, les opérations élémentaires sur une matrice (interprétation en terme de produit matriciel). Méthodes de Gauss et

similaire, e droite du produit par la i c e naturellement, la i i`me ligne d’un produit matriciel est trouv´e en rempla¸ant e c i`me ligne. e le facteur le plus ` gauche par sa i a Supposons que nous consid´rons une matrice X partitionn´e en deux e e groupes de colonnes: X = [X1 X2 ]. La notation est choisie d´lib´r´ment, e ee parce qu’il est intuitivement utile d’assimiler X ` une matrice de r´gresseurs a e s´par´s en deux sous-ensembles. En particulier, nous serons capables d’appliquer e e le Th´or`me

triangulaire supérieure si les éléments éventuellement non nuls sont au-dessus de la diagonale. (c’est-à-dire si i > j aij = 0), triangulaire inférieure dans le cas contraire. 6.5. Matrice symétrique A est une matrice symétrique si elle est égale à sa transposée tA, et est antisymétrique si A = -tA. A est symétrique A = tA aij = aji (i, j) A est antisymétrique A = -tA aij = - aji (i, j) et en particulier aii = 0 7. MATRICES INVERSIBLES Une matrice carrée A d’ordre n, est inversible

 La cryptographie est la science du codage des messages à l'aide de codes secrets ou de clés. Le codage des messages vise à en assurer la confidentialité, l'authenticité et l'intégrité. Le chiffre de Vigenère est un système de chiffrement polyalphabétique, c'est un chiffrement par substitution, mais une même lettre du message clair peut, suivant sa position dans celui-ci, être remplacée par des lettres différentes, contrairement à un système de chiffrement monoalphabétique comme le chiffre de

maths.txt Propriétés des matrices triangulaires[modifier] Une matrice triangulaire à la fois inférieure et supérieure est une matrice diagonale. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures (respectivement supérieures) est une matrice triangulaire inférieure (respectivement supérieure). Plus généralement l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) est une sous algèbre (non commutative) de Mn(K), ensemble des matrices de taille n a valeur dans le corps K. La transposée

 la transposée  , sera de dimension  .  ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ A ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ Propriétés : Soit   et   deux matrices et   un scalaire    1. A B A B 2. A A  3. kA kA   4. A B B A      est une matrice carrée symétrique et les éléments  Pour toute matrice  , le produit  de sa diagonale principale sont non négatifs.  Page 3 sur 7   Trace d’une matrice carrée d’ordre n,   (notée  Somme des éléments de la diagonale principale i.e. tr A  

LE CADRAN D’ALBERTI Alberti est un mathématicien italien du XVe siècle Il y présente notamment des tables de fréquence d'emploi des lettres, et explique ainsi pourquoi la cryptographie par substitution monoalphabétique n'est pas sûre. Pour remédier à cela, Alberti présente plusieurs idées, la plus connue étant le cadran d'Alberti. Il propose d'utiliser deux disques concentriques. Sur le plus grand, fixe, on écrit l'alphabet dans le bon ordre. Sur le plus petit, mobile, on écrit l'alphabet

linéaire V- Applications linéaires injectives et surjectives VI- Rang d’une application linéaire Chapitre 3 : Matrices I- Généralités (définition, matrices particulières) II- Matrices carrées 1. Matrice diagonale, Matrice triangulaire 2. Matrice symétrique, Matrice antisymétrique III- Opérations sur les matrices 1. Addition, Multiplication, Puissance 2. Propriétés de l’ensemble des matrices 3. Matrice inversible IV- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan V- Matrice associée à un système de vecteurs

Les principes du cryptage symétrique Le cryptage symétrique Le cryptage symétrique est l’encryptage d’un document grâce à une clé  qui sert aussi à décrypter ce document. Le cryptage symétrique implique l'utilisation d'une seule et même clé secrète pour le cryptage et le décryptage. Cette clé doit donc être connue des deux parties. L’avantage est que l’on peut crypter rapidement. Le problème est que la clé doit être partagée, ce partage doit être fait dans des conditions sécurisées. Les avantages

utilisation de chiffre mono alphabétique réutilisé périodiquement Homophonique – fait correspondre à chaque lettre du message en clair un ensemble possible d’autre caractère. Polygramme- consiste à substituer un groupe de caractères (Polygramme) dans le message par un autre groupe de caractère Cryptographie à clé publique- un schéma asymétrique qui utilise une paire de clés pour le chiffrement : une clé publique, qui chiffre les données et une clé privée correspondante, aussi appelé clé secrète