Hermitien

k = 1, 2, ..., N ), alors ∀ j , ∀ k , a∗ jk = akj .) ¯ En particulier, si les éléments de A sont réels, A∗ = AT (matrice transposée). Définition 1.3 “Matrice Hermitienne”. Une matrice carrée H dont les éléments sont complexes est dite “hermitienne” si elle est égale à sa matrice adjointe : H = H∗ En particulier, une matrice réelle hermitienne S est une matrice réelle-symétrique (S T = S). Définition 1.4 “Matrice Unitaire”. Une matrice U est dite unitaire si elle est inversible et si son inverse est

Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Bases orthonormales dans un espace euclidien ou hermitien . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Suppl´mentaire orthogonal e 14 3.1 Th´or`me fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 e e 3.2 Premi`res applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FORMES HERMITIENNES - ESPACES HERMITIENS 5.1 FORMES SESQUILINEAIRES - FORMES HERMITIENNES 5.1.1 Formes sesquilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Forme hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Forme quadratique hermitienne . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 ESPACES HERMITIENS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Forme hermitienne non dégénérée . . . . . . . . . . . . 5.3 ESPACES HERMITIENS . . .

propriétés de la transformation de Fourier. © Soit f(t) une fonction réelle intégrable, nous avons : +00 +00 +o ftv) =f F(t) 2°" dt = Fv) -{ F(t) 2 att =f F(t) 2 Gt oe 20 ce +00 __ -{ F(t) © 27" dt = F0). eo fDER= flv) = Fv) f est 4 symétrie hermitienne. @ Nous savons que si f est paire, alors f est paire et que si f est impaire, f est impaire. ® Soit maintenant P(t) une fonction réelle paire, nous avons : Pl») = Per} | . ” => Piy) = Ply) =» PWe)EeR. P(—p) = Pi») P(it}ER, Ppaire >

signifie que : χ|(α1 |ψ1 + α2 |ψ2 ) = α1 χ|(|ψ1 ) + α2 χ|(|ψ2 ) (3.3) (3.2) On peut bien sûr faire des combinaisons linéaires de bras de type α1 χ1 | + α2 χ2 |, mais il n’y a pas (surtout pas, sinon il y a un problème avec le produit scalaire hermitien !) de notation spéciale. Ces combinaisons linéaires sont comme d’habitude définies par : α1 χ1 | + α2 χ2 | (|ψ ) = α1 χ1 |(|ψ ) + α2 χ2 |(|ψ ) (3.4) pour tout ket |ψ de l’espace E. L’ensemble des formes linéaires (des bras) sur l’espace E est appelé

(produit scalaire) L’op´ration e e E×E →K (u, v) →< u, v >= v ∗ u = scalaire sur E. Si K = C on l’appelle plutˆt produit hermitien. o est appel´ produit e ui vi D´finition 7 (et propri´t´) < u, v >= < v, u >. Un espace vectoriel sur R muni d’un produit scalaire e e e est appel´ espace euclidien et un espaces vectoriel sur C muni d’un produit hermitien est appel´ espace e e hermitien. D´finition 8 Deux vecteurs u et v sont dits orthogonaux si et seulement < u, v >= 0. On ´crit que u⊥v. e e remarque

sym´trique. En conclusion : e Th´or`me 11. — Un endomorphisme u d’un espace euclidien admet une bon de vecteurs e e propres ssi u est sym´trique. 2 e 3. Endomorphismes orthogonalement diagonalisables d’un espace hermitien. On se place ici dans (E, φ), avec K = C et φ sesquilin´aire, hermitienne et d´finie positive. Dans e e ce cas si B est une bon de E, Mat(u∗ , B) =t Mat(u, B), o` ˜est la conjugaison complexe. u Notons que si u est un endomorphisme orthogonalement diagonalisable de E, il existe une bon

ne sont pas dual l’un par rapport à l’autre. On définira l’opérateur &#119883;6: &#119883;⏐&#120572; &gt;← &#119862;&#119863; →&lt; &#120572;⏐&#119883;6 L’opérateur &#119883;6 est l’adjoint de l’opérateur &#119883;. Un opérateur &#119883; est dit Hermitien, si: &#119883; = &#119883;6Kets, bras et opérateurs Les opérateurs X et Y peuvent être multipliés. Les opérations de multiplication sont, en général, non commutatives: &#119883;&#119884; ≠ &#119884;&#119883; Cependant, elles sont associatives: &#119883;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites 7.5 Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Algèbre euclidienne et hermitienne 8.1 Espaces euclidiens et hermitiens . . . . . . . . 8.2 Formes quadratiques et hermitiennes . . . . 8.3 Endomorphismes orthogonaux et unitaires 8.4 Endomorphismes autoadjoints et normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Chapitre 1 Algèbre générale Partie 4 Chapitre 2 Algèbre linéaire et géométrie affine Partie 4 Chapitre 3 Réduction des endomorphismes Partie 3 Chapitre 3 Electromagnétisme Partie 4 Chapitre 4 Espaces euclidiens, géométrie euclidienne, espaces hermitiens Partie 3 Chapitre 1 Etude des systèmes Partie 3 Chapitre 4 Samedi 22 mars Mathématiques Dimanche 23 mars Physique Philosophie Lundi 24 mars Mardi 25 mars Mercredi 26 mars Jeudi 27 mars Vendredi 28 mars Mathématiques Mathématiques