Homéomorphisme

2: Exemples d'entrelacs 1 Déf: Une isotopie entre deux noeuds K et K est une application continue h : [0, 1] × R3 −→ R3 (t, x) −→ ht (x) telle que h0 = IdR3 , pour tout h1 (K) = K ht et t ∈ [0, 1] , est un homéomorphisme K et K sont équivalent ⇔ ∃h une isotopie entre eux. On écrira alors K∼K Remarques: 1) ∼ est une relation d'équivalence. 2) La même dénition est valable pour les entrelacs. Problèmes • • • Classier les noeuds

dimensions. Sa résolution est liée au problème de classification des variétés de dimension 3. Une classification des variétés de dimension 3 est généralement considérée comme la production d'une liste de toutes les variétés de dimension 3 à un homéomorphisme près (sans répétition). Une telle classification est équivalente à un algorithme de reconnaissance, qui pourrait vérifier si deux variétés de dimension 3 sont homéomorphes ou pas. On peut ainsi considérer la conjecture de Poincaré comme un cas

celle de courbe dans R2 et de surface dans R3 : Un sous ensemble d eRn est une hypersurface régulière de classe C k (k 2 N [ f1g) , def 8 n 1 n = 6 ?; et 8M 2 ; 9U ouvert de R et ' : U ! R t.q; > > < i)M 2 ' (U ) ouvertde (' (U ) ) ii) ' est un homéomorphisme de U sur ' (U ) de classe C k > > : iii)8(q1 ; :::; qn 1 ) 2 U; d'(q1 ;:::;qn 1 ) 2 Lc (Rn 1 ; Rn ) est injective (c a d: de rang n 1) Autrement dit, est une hypersurface régulière de classe C k s’il admet au voisinage de chacun de ses points

t2 Théorème 23.8 1. La fonction f est impaire, indéfiniment dérivable sur R et strictement croissante. 2. f est bornée sur R. On peut définir réel : = lim f (x) x→+∞ et le nombre π par π = . 2 π π . Théorème 23.9 f réalise un homéomorphisme de R sur − , 2 2 La fonction f est appelée fonction arc-tangente et notée arctan . Exercice 23.1 Montrer que arctan (1) = π . En déduire des méthodes de calcul approché de π. 4 Exercice 23.2 Montrer que : 1 x ∀x ∈ R∗ , arctan (x)

nombres de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . Calcul fonctionnel en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Décomposition de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La décomposition polaire est un homéomorphisme . . . . . . . . . . . . Sous-groupes à un paramètre de n( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices de Gram et inégalité d’Hadamard . . . . . . . . . . .

appellée un homéomorphisme. (En vertu du théorème 1 -4.6, ceci équivaut à dire que la bijection f est une application continue et ouverte.) On peut se demander si la continuité d’une bijection f entraîne automatiquement la continuité de f −1 . Or, ceci est faux : un contre-exemple est donnée en exercice ??. (b) Si f est continue et g est continue, alors g ◦ f est continue. 10 1. Continuité dans les espaces métriques 4.13. Corollaire. (Groupe des homéomorphismes.) Les homéomorphismes f : M →

préfixes (inexistants en arabe) d’où la difficulté de distinguer entre surjection, injection et bijection LE PASSAGE DES MATHEMATIQUES EN ARABE AUX MATHEMATIQUES EN FRANÇAIS EN ALGERIE : DIFFICULTES ET AVANTAGES RACHID BEBBOUCHI Page 531 homéomorphisme et isomorphisme,… Les Syriens ont voulu introduire la notion de préfixe dans la langue arabe en créant les termes « mostachakal, tafachakal,… » mais les autres pays arabes n’ont pas suivi. 3. Comment tirer avantage de l’emploi des deux langues

quantité tend vers 0 ; ce qui permet de conclure. Théorème 33 (Théorème d’inversion globale) Soit A une application linéaire continue de E dans F , avec E un espace de Banach et F un espace normé, telle que A−1 existe et est continue (A est un homéomorphisme linéaire). Soit φ une application lipschitzienne de E dans F telle que Lip(φ) < −1 A−1 . Alors : • h = A + φ est inversible A−1 • h−1 est lipschitzienne, avec Lip(h−1 ) ≤ [1− A−1 .Lip(φ)] • Si h est C 1 sur U ouvert de E, et si ∀x ∈ U Dh(x) ∈

À l'usage des élèves de la classe * /  I G (Lecture déconseillée, en premier abords, aux élèves / ).. C 1 À la poursuite de celui qui détermine 1 I Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Formes n-linéaires alternées de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Déterminant d'un système de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Déterminant d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.4 Déterminant

Kronecker le ne groupe symétrique le ne groupe alterné les polynômes de degré ≤ n à coefficients dans l’algèbre des matrices carrés de taille n à coefficients dans le groupe linéaire de degré n sur la transposée de la matrice M le segment [0; 1] (à homéomorphisme près) k k P(E) (X, Y) x vp (n) Ck n j δi Sn An n [X] n( ) n( ) t M la boule unité de l’espace euclidien la sphère unité de l’espace euclidien k k+1 , c’est-à-dire ∂ k+1 iii Liste des résultats 1.1 1.1 1.1 1.2 1.2 1