Homothétie

T=0 si = 0 Lf(p) ou LT(p) p = x+iy ∈ c e-pt f(t) dt 0 E S D: fonctions C∞ à support borné D⊂S⊂E D S Translation < T(x-a), ϕ(x)> = < T(x), ϕ(x+a)> Existe pour x > ξ abscisse de sommabilité Des Distributions + Lf (p) = T∈ -xt Homothétie = a a y LT (p) = F e T 2π LT (p) = < T, e–pt > D' , e-xt T ∈ S' Dérivation < T ', ϕ > = - < T, ϕ'> Propriétés distributions à support borné: ' '⊂ '⊂ ' Notations: T distribution, ϕ fonction de l'espace de définition T(ϕ) = ∈ D S E⇒

semelles isolées. Les semelles isolées sont les fondations des poteaux. Leurs dimensions de surface sont homothétiques à celles du poteau que la fondation supporte : - Semelles rectangulaires : Fig 1 Fig 2 D B Homothétie : Bx Hauteur H: Bx - Ax 4 FF FF TN By = Ax Ay ≤ H -100 mm < Bx - Ax à vérifier dans le plan Y TN Le niveau de fond de fouille est le sol d’assise de la fondation FONDATIONS SUPERFICIELLES FF Le niveau de

pourra pas la représenter dans une matrice carrée, 2*2 dans le plan, 3*3 dans l'espace. [pic]b) l'homothétie : [pic]Une homothetie de centre O et de rapport K, associe au point A un point B tel que OB = k* OA : le point B se trouve sur la droite (OA) et la distance OB = k * OA. Le signe de k détermine la position de B par rapport à O. Remarque : Une homothétie est aussi appelée "changement d'échelle". |[pic]1er cas : 0 confondu avec l'origine du repère | |a:={8

iθ 7. Le nombre complexe 2 2 ✞ ✟ ✠ ☛ P1   ☞ ✡ eiθ − e− iθ + 2i 2 ✞ ✟ ✠ ☛ 0 P2   ✡ ☞ 1 est égal à : P3 8. La transformation du plan dont l'écriture complexe est z' = P1   Lycée du Pré-Saint-Sauveur Bac Blanc rotation P2   homothétie P3   Page 2 Mathématiques   cos2 θ P4   e −2iθ 2 3 ( z − zC ) + zC est une : 2 translation P4 symétrie   Mars 2004 Série S Exercice 2 (6 points) On considère la fonction ƒ définie sur ]0, +∞[ dont la courbe représentative C dans un repère

transformation k et préciser ses éléments caractéristiques. 2z + 2 2 − 2. b. En déduire que l’écriture complexe de k est : z ′ = 4. Déduire de ce qui précède une écriture de la similitude indirecte f comme composée d’une réflexion et d’une homothétie, E XERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats → → − − Dans un plan muni d’un repère orthononnal O, ı ,  , on désigne par C la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I de R, f et f ′ ne s’annulant pas sur

ÔH) = (û ; ÔK) =… OH = |zH| Equation paramétrique d’un cercle : z = zΩ + reiθ θ Є Ɍ (Ω(zΩ) et rayon r) x = xΩ + r cosθ ; y = yΩ + r sinθ Translation : z’ = z + b M’(z’) est l’image du point M(z) par la translation du vecteur ^v(b). Homothétie : z’-ω = k(z-ω) M’(z’) est l’image de M(z) par l’homothétie de centre Ω(ω) et de rapport k. Rotation : z’-ω = eiθ(z-ω) M(z) a pour image M’(z’) par la rotation de centre Ω(ω) et d’angle θ. La fonction logarithme népérien : ln 1 = 0 ; ln

un triangle équilatéral. 4. Soit C le point d’affixe c = −8i et D son image par la rotation de centre O et 2π d’angle . 3 Placer les points C et D. Montrer que l’affixe du point D est d = 4 3 + 4i. 5. Montrer que D est l’image du point B par une homothétie de centre O dont on déterminera le rapport. 6. Montrer que OAD est un triangle rectangle. E XERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité → → − − Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O, u , v

l’œuvre dans la réalisation et la justification de constructions, dans la recherche de propriétés et dans la rédaction de démonstrations, qu’elles soient synthétiques, vectorielles ou analytiques. Les translations, les symétries, les rotations et les homothéties sont utilisées pour décrire et organiser les propriétés des figures et aussi pour illustrer la notion de groupe à titre d’exemples et de contre-exemple. Les translations, les symétries et les affinités lient la géométrie à l’analyse et à l’algèbre

particuliers, - droite d’Euler, ... Me22 Translation dans le plan : - définition et propriétés, - image d’une droite, d’autres figures usuelles, - composée de deux translations. Me23 Homothétie dans le plan : - définition et propriétés, - image d’une droite, d’autres figures usuelles, - composée de deux homothéties de même centre. Me24 Symétrie orthogonale par rapport à une droite dans le plan : - définition et propriétés, - image d’une droite, d’autres figures usuelles, - composée de deux symétries

surtout de méthode dans la démarche. - Composée de deux transformations planes - Expression analytique d'une translation, d'une rotation, d'une symétrie et d'une homothétie - Exemples d'isométries laissant au moins un point invariant • On étudiera la composition de deux rotations de même centre, de deux symétries orthogonales, d'une homothétie et d'une rotation de même centre. Travaux Dirigés: problèmes d'incidence, de lieux géométriques, d'optimisation et de construction. Les élèves doivent pouvoir