Implication réciproque

restriction de f à l'intervalle k = * Montrer que h définie une bijection de K sur un intervalle L à préciser. * En déduire que l'équation , h (x) = 0 admet une solution unique * Vérifier que * Déduire du a) que h admet une bijection réciproque h- 1dont on précisera l'ensemble de définition et le sens de variation. * Quelle est la valeur h- 1(0) ? Justifier que h- 1est dérivable en 0 et calculer (h- 1(0). Tracer dans le même repère, la courbe () représentative h- 1

nombre réel x par : exp : x ) ex, avec ln (e) = 1 et e = 2,718 281 …… On a donc exp(x) = ex ; ex = y x = ln y (y > 0) En effet, ex = y ln(ex ) = ln y et x×ln(e) = ln y soit x = ln y Fonctions réciproques ✓ La fonction "carré" admet sur les réels positifs une fonction réciproque appelée "racine carrée". 1- Dans le repère orthogonal ci-contre, sont présentées les courbes U, V et W représentatives des fonctions f(x) = x², g(x) = et h(x) = x. 1. Sur le graphique identifier

2.3 Fonction de IR dans IR Soit Alors est une fonction ssi A chaque x de A correspond 1 seul élément f(x) de B Remarque : A : domaine de définition B : domaine image 2.4 Image et image réciproque Soit 2.4.1 Image Ensemble image par f de 2.4.2 Image réciproque Ensemble image réciproque de f par B’⊂ B : Remarque : si f est une fonction, f-1 n’est est pas tjrs une 2.5 Applications surjectives, injectives et bijectives 2.5.1 Application (=fonction) injective : Des éléments ≠ ont

La fonction logarithme népérien, définie sur R+∗ et notée ln, est la bijection réciproque de la fonction exponentielle : ∀x>0 , ln(x)=y⇔x=ey Pour tous réels strictement positifs x et y : ln(xy)=ln(x)+ln(y) Pour tout réel x : ln(ex)=x Pour tout réel x strictement positif : eln(x)=x ln(1)=0 BLe signe TS01304-01.PNG CLes propriétés algébriques Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier naturel n : ln(xy)=ln(x)+ln(y) ln(1x)=−ln(x) ln(xy)=ln(x)−ln(y) ln(xn)=nln(x) ln(x√)=12ln(x)

CORRIGE DU DS n°2 I1 MATHEMATIQUES EXERCICE 1 1. 2   1  4  1  3i   5  12i . Soit  une racine carrée de  et  x, y   2 tel que   x  iy donc tel que  x  iy   5  12i . De plus   25  144  13  x2  y2  5 2 x2  18  x  3 x  3  x  3    2 . Donc 3  2i et 3  2i sont les racines carrées de .     2 xy  12   xy  6   xy  6   ou  y  2  y  2  2  2  y  2 2   x  y  13 2 y  8 On considère   3  2i . Les solutions de l’équation z2  z

Réinvestissement |Classe de 1ère |Classe de Tale | | |Les implications dans le raisonnement mathématique | | |Comprendre le sens d’une implication et l’utiliser correctement. Formuler et comprendre l’implication|Comprendre les notions de conditions nécessaires

d’un certain rang. 3. Implication, réciproque, contraposée Définition 3. Soient P et Q deux propositions. On écrit P ⇒ Q et on lit « P implique Q » pour dire que « si P est vraie, alors Q est vraie ». Exemples 3. 1. ∀ x ∈ R, 2. ∀ x, y ∈ R, x = −1 ⇒ x2 = 1, xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0. Proposition 2. La négation de P ⇒ Q est « P et Q ». Définition 4. Soient P et Q deux propositions. On appelle réciproque de l’implication P ⇒ Q l’implication Q ⇒ P . Exemple 4. 1. La réciproque de l’implication : x =

La négation de " ∃ x ∈E, P(x)" est " ∀ x ∈ E, P(x)" 2. PROPOSITION RECIPROQUE. Les 2 propositions P : « Si A, alors B » et Q : « Si B, alors A » sont appelées des propositions réciproques. Remarques : On peut rencontrer tous les cas suivants : Une proposition vraie et sa réciproque fausse. Une proposition fausse et sa réciproque vraie. Une proposition vraie et sa réciproque vraie. Une proposition fausse et sa réciproque fausse. Exercice : Trouver dans chaque cas ci-dessus , un exemple d’illustration

raisonnement (Socrate, Hilbert). Le problème, posé intuitivement est le suivant : en supposant que certaines propositions sont vraies comment prouver qu une proposition donnée Q est vraie ? L implication peut être considérée comme permettant des déductions : si on sait que la proposition P est vraie et que l implication P Q est vraie, alors on en déduit que Q est vraie. Par exemple, soit P = (tout entier pair supérieur ou égal à 4 est la somme de deux entiers premiers) et Q = (tout entier impair supérieur

pas l’autre. d) Implication L’assertion « si le déterminant d’une matrice carrée est non nul, alors cette matrice est inversible » est une implication. Celle-ci se compose d’un antécédent (« le déterminant d’une matrice carrée est non nul ») et d’un conséquent (« la matrice est inversible ». S’agissant d’une proposition d’algèbre élémentaire, cette assertion est vraie. Le cours de mathématique regorge d’assertions de ce type. Aussi, pour bien appréhender ce qu’est une implication, prenons l’exemple