Implication réciproque

monotonie de la suite u. c- Déduire que la suite u est convergente et calculer sa limite. B/ Soit h la fonction définie sur -1, 1 par : hx=f(-sinπ2 x) 1/ a- Vérifier que hx=-1-tanπ2 x ; x∈ -1, 1. b- Montrer que h admet une fonction réciproque g définie sur IR. c- Montrer que g est dérivable sur IR et que : g'x=-2π(x+1)2+1 2/ Soit φ la fonction définie sur IR* par : φx=gx-1+g(1x-1) a- Montrer que φ est dérivable sur IR* et déterminer φ'x. b- Calculer φ(1) et φ-1

3 Définition On appelle fonction logarithme népérien la bijection réciproque de la fonction exponentielle. On la note ln. La fonction ln est donc définie sur  * et à valeurs dans  : + ln(x) n'a de sens que pour x > 0 r r Soit M(x, y) un point de la courbe de la fonction logarithme (voir figure 2) dans un repère orthonormé ( O ; i , j ) . On a donc x Î  * et y = ln(x). + Comme la fonction ln est la bijection réciproque de la fonction exponentielle, on a alors x = ey. Donc le point M'(y

1 Notion de fonction continue . . . . . . . . . . 4.4.2 Équation de la tangente en un point . . . . . 4.4.3 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . 4.4.4 Dérivabilité et sens de variation . . . . . . . . 4.4.5 Dérivation de la bijection réciproque . . . . . 4.4.6 Dérivée seconde, concavité, inflexions . . . . . 4.4.7 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Exponentielle, logarithme népérien . . . . . . 4.5.2 Fonctions exponentielles

suivante I.1 Fonctions d’une variable réelle I.1.1 I.1.2 I.1.3 I.1.4 I.1.5 I.1.6 I.1.7 I.1.8 I.1.9 I.1.10 Définition des dérivées . . . . . . . . . . . . Propriétés des dérivées . . . . . . . . . . . . Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . Fonctions trigonométriques réciproques . . Formule des accroissements finis . . . . . . Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . Infiniment petit . . . . . . . . . . . . . . . . Développements limités-définition

Astucieux ! - L1/Math Sup - ?? ex = P100 k=1 xk k! + o(x100). Exercice 7 - Développement limité d’une fonction réciproque - L1/Math Sup - ?? 1. Calculer f0 et appliquer les théorèmes du cours. 2. f est impaire. 3. Écrire f−1(x) = a1x + a3x3 + a5x5 et utiliser que f  f−1(x) = x en composant les développements limités. Exercice 8 - Développement limité d’une fonction réciproque - L1/Math Sup/Oral Mines - ?? Posons g = f−1(x). Justifier que g admet un développement limité d’ordre 3. Puis,

′ Dérivée logarithmique (srce): Limites: lim0+ ln x = −∞ lim+∞ ln x = +∞ 1.2 Fonction exponentielle népérienne. La fonction exponentielle népérienne x → ex est une bijection stricte∗ ment croissante de R sur R+ . Elle est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien. Leurs graphes sont symétriques par rapport à la première bissectrice en repère orthonormal. ea e a+b = e a ∗e b (e a ) b = e ab = e a−b eb 1 = e−a e0 = 1 e1 = e = 2.718 ea ln x qqs le r´el x > 0 e x = ln (e x)

x ) g ( n − k ) ( x ) avec la convention habituelle f (0) (x ) = f (x ) . Les nombres C nk sont ceux qui interviennent dans la formule du binôme de Newton. 6°/ Fonctions réciproques : Le théorème des fonctions inverses Si f : I → J est dérivable, bijective et si f ′ ( a ) ≠ 0 pour un élément a de I, la fonction réciproque g = f −1 est dérivable en f(a) et g ′ ( f ( a )) = 1 (Théorème des fonctions inverses). f ′(a ) Cela est assez clairement illustré par les représentations graphiques de f et

important de connaître une valeur approchée de La fonction exponentielle réalise une bijection de R sur ] 0 ; [pic][ Cela signifie que pour tout réel y >0, il existe un et un seul x réel tel que y = exp(x). On peut donc définir la fonction réciproque de la fonction exponentielle, qui à tout réel y strictement positif associe le réel x tel que y = exp(x). Cette fonction, donc définie sur ] 0 ; [pic][ et à valeurs dans R est appelée : fonction logarithme népérien et notée ln. [pic] Tout

linéaire de E dans E. Notation : l’ensemble des endomorphismes de E se note L(E). Un isomorphisme de E dans F est une application linéaire bijective de E dans F. Propriétés : On dit que les espaces E et F sont isomorphes ; la bijection réciproque f^(-1) est un isomorphisme de F dans E ; 2 e.v. isomorphes sont de même dimension(dim⁡E=dim⁡F). Un automorphisme est un endomorphisme (application linéaire) bijectif de E. Notation : l’ensemble des automorphismes de E se note GL(E). Si f∈L(E

Fonction exponentielle  (népérienne : base e) | * Nom de la fonction : fonction exponentielle de base e * Notation : Exp. On a l'équivalence : y = Exp(x)   y = ex  (y exposant x) x = ln y C'est dire que la fonction Exp est la fonction réciproque de ln. La notation puissance : ex, est due à Euler * Etymologie : du latin exponer = exposer : placer à côté. Le terme est dû à Jacques (Jakob) Bernoulli. * Ensemble de définition : R tout entier, image de ]0 , + [ par la fonction ln