Implication réciproque

bijection strictement décroissante de [a, b] sur [(b), (a)]. Remarque : On peut remplacer (a) par et [a, b] par ]a, b], [(a), (b)] par ], (b)], lorsque n'est pas définie en a mais admet en a une limite (finie ou infinie). si est la bijection réciproque, alors a le même sens de variation que . 3. Extrema d'une fonction Théorème 5 Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant . Si s'annule en changeant de signe en , alors admet un extremum en . Remarque : dans ce cas

poser ( ) 3. ( ) ( ) ( ) ( ) Allez à : Correction exercice 31 Exercice 32. ( ) Soit l’application définie par ( ) 1. Déterminer un développement limité de à l’ordre en . 2. Montrer que est une bijection et que sa bijection réciproque est de classe , en déduire que a un développement limité à l’ordre . ( ) ( ) le développement limité de On note en . ( ( )) 3. En déduire le développement limité de en exploitant la relation . Allez à : Correction exercice 32 CORRECTIONS

Activit´e de math´ematiques Composition de fonctions et encadrement On consid`ere les fonctions de r´ef´erence suivantes : – fonction affine de param`etres a et b : f (x) = ax + b 1 – fonction inverse : f (x) = x – fonction carr´e : f (x) = x2 Encadrement et sens de variation 1. Rappeler les ensembles de d´efinition ainsi que les tableaux de variations des fonctions affines, carr´e et inverse. 2. On consid`ere un nombre r´eel x tel que 1 x 2. (a) D´eterminer le tableau de variations de la fonction

Notation xe On désigne le réel exp(1) par la lettre e. On convient de noter xe pour exp (x), pour tout x réel. II - Fonction logarithme népérien Théorème et définition La fonction exp réalise une bijection R de sur ]0, + ∞[. Sa bijection réciproque, fonction de ]0, + ∞[ dans , est appelée fonction logarithme népérien et est notée ln. Propriétés immédiates La fonction ln est strictement croissante sur ]0, + ∞[. ln 1 = 0 ; ln e = 1. La fonction ln est strictement négative sur ]0, 1[ et strictement

les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. FONCTIONS USUELLES PLAN I : Fonctions exponentielles 1) Exponentielles et logarithmes 2) Fonctions trigonométriques hyperboliques 3) Réciproques des fonctions hyperboliques II : Fonctions circulaires 1) Fonctions trigonométriques 2) Réciproque des fonctions trigonométriques Annexe : trigonométrie I : Fonctions exponentielles 1– Exponentielles et logarithmes 1 u ln(x) est la primitive de définie sur ]0, +∞[ et s'annulant en x = 1. Autrement

orthonormé[pic]. 3/ a) Montrer que f réalise une bijection de[pic]dans un intervalle I que l’on précisera. b) Expliciter f -1(x) pour x[pic]I. II] soit la fonction h :[pic]. 1/ Etudier les variations de h. 2/ Montrer que h admet une fonction réciproque g. Calculer g[pic] et g[pic]. 3/ Montrer que g est dérivable sur[pic]. 4/ Soit la fonction G :[pic]. a) Montrer que G est bien définie sur[pic]. b) Montrer que G est dérivable sur[pic]et calculer G’(x). c) En déduire que[pic] . 5/ En déduire

de R dans R vérifiant : ∀(x, y) ∈ R2 , |f (x) − f (y)| ≤ |x − y|2 1. Montrer que f est continue sur R. 2. Montrer que f est dérivable sur R et ∀ x, f (x) = 0. 2 Dérivabilité de bijection réciproque Exercice 7 Soit f : x −→ x3 + x. 1. a) Montrer que f est bijective de R dans R, notons g sa bijection réciproque. Donner une relation liant x et g (x). b) Montrer g est continue et dérivable sur R, et exprimer g en fonction de g. c) Montrer que g est de classe C ∞ . 2. Déterminer limg, puis montrer que

1) f est continue (sur D) [pic] 2) f est continue en tout point de [pic] [pic] 3) f est continue sur [pic] [pic] Il est alors évident logiquement que [pic] mais que les réciproques sont fausses en général. [pic] Sur l’exemple : - f n’est pas continue sur le segment [pic] - f n’est pas continue en tout point de [pic] (puisqu’elle ne l’est pas en 1) - [pic] est continue : f

composition de fonctions n’est en général pas commutative : f ◦ g = g ◦ f. Par exemple, dans le cas précédent, on a (f ◦ g)(x) = cos2 (x) + 1. Serge Dumont Mathématiques 2015-2016 14 / 44 5 – Fonctions injectives, surjectives, bijectives, réciproques 5.1 – Fonctions injectives Définition 10 Une fonction f : X → Y est dite injective sur X (ou est une injection sur X) si, pour tout y dans l’ensemble d’arrivée Y , il existe au plus un élément x dans l’ensemble de départ X tel que f (x) = y. (y

-J THEOREME DE LA BIJECTION Si une fonction f est strictement monotone sur un intervalle I alors: • f est une bijection de l'intervalle I sur f ( I ). • la fonction réciproque f ~' de fa le même sens de variation que f. Si de plus, la fonction f est continue sur I, alors la fonction réciproque f ~' de f, est une bijection continue de l'intervalle J = f ( I ) sur I. Remarque : pour tout x e / et y e J , y = f (x ) x -f "' (y ) On admet que : Les courbes représentatives