Inclusion

est la plus petite tribu qui est sur-ensemble de ℱΩ, on a que τ(ℱΩ ) ⊆ ℬ(Ω). On a montré une inclusion. Soit G ∈ ?Ω, alors ∈ ℱΩ ⊆ τ(ℱΩ). De même que plus haut, en repassant au complémentaire, on a ?Ω ⊆ τ(ℱΩ). Et comme précédemment, la tribu engendrée par ?Ω étant la plus petite tribu sur-ensemble de ?Ω, on a que τ(?Ω) ⊆ τ(ℱΩ), i.e par définition de ℬ(Ω) : ℬ(Ω) ⊆ τ(ℱΩ). On a montré la seconde inclusion. ∎ 1.3.3 Lemme : Soit G un ouvert de ℝ (non vide). Alors il existe une suite (] an, bn [)n∈ℕ

12 ans). | |Période opératoire concrète. | | | | |Inclusion. | | |Vrai ou faux. Selon Piaget, c’est en atteignant la |Définition de concept. Comment Piaget appelle-t-il la |Mise en situation. On montre à un

E, x ∈ F , qui peut également s’énoncer :∀x, x ∈ E =⇒ x ∈ F • E = F signifie que les ensembles E et F sont égaux, c’est à dire qu’ils ont les mêmes éléments, c’est à dire vérifient la double inclusion : E ⊂ F et E ⊂ F . Pour démontrer que deux ensembles E et F sont égaux on procède toujours par double inclusion. Exemple 1.2. E = {2, 3, 4, 5} et F = {n ∈ N, 2 n 5} On a bien E = F car : • ∀x ∈ E on a : x ∈ N et 2 x 5 donc x ∈ F , ce qui prouve E ⊂ F • ∀y ∈ F on a y est un nombre entier compris entre

note . 7. Symbole d’exclusion Le signe * exclu le nombre 0 d'un ensemble. Par exemple, ℝ* est l'ensemble des nombres réels privé de 0. 8. Inclusions Tous les nombres de l’ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l’ensemble des entiers relatifs ℤ. On dit que l’ensemble ℕ est inclus dans l’ensemble ℤ. On note : ℕ ℤ. On a également les inclusions suivantes : ℕ ℤ ⅅ ℚ ℝ Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés p37 n°28 p38 n°48 à 50 p37 n°29 à 30 Ex

note ∅ . 7. Symbole d’exclusion Le signe * exclu le nombre 0 d'un ensemble. Par exemple, ℝ * est l'ensemble des nombres réels privé de 0. 8. Inclusions Tous les nombres de l’ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l’ensemble des entiers relatifs ℤ . On dit que l’ensemble ℕ est inclus dans l’ensemble ℤ . On note : ℕ ⊂ ℤ . On a également les inclusions suivantes : ℕ ⊂ ℤ⊂ ⅅ⊂ ℚ⊂ ℝ Yvan Monka – m@ths et tiques – http://ymonka.free.fr/maths-et-tiques/ ℝ ℚ 10 2 0 -2 ℕ ℤ -31 ⅅ

constitu´ des suites convergentes vers 0 et P l’ensemble des suites e complexes nulles au del` d’un certain rang. Pour n ∈ N on note δn l’´l´ment de P d´fini par a ee e δn = (δnk )n∈N o` δnk = 1 si n = k et 0 si n = k . u [ I ] [ S ] 1) a) V´rifier les inclusions P ⊂ e b) Comparer sur 1 1 ⊂ C0 ⊂ 1 ∞ . · ∞ la norme · avec la restriction de 1 1) . ∞ ). a ` 1 . c) Montrer que P est une partie dense de ( , · d) Montrer que P est une partie dense de (C0 , · e) P est-elle une

E , x ∉ E ; et que la propriété reste vraie dans les deux cas, alors elle est vraie pour tout x, il n’y pas d’autre cas à envisager. De façon tacite, c’est cette propriété évidente qui assure la cohérence et la validité de la démonstration. Inclusion et sous ensembles : On dit que A est inclus dans B, ou encore que A est un sous ensemble de B, si tout élément de A est aussi un élément de B. On note A ⊂ B. B Traduction mathématique de l’équivalence de définition : A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A, x ∈

se note ∅ . 7. Symbole d’exclusion Le signe * exclu le nombre 0 d'un ensemble. Par exemple, ℝ* est l'ensemble des nombres réels privé de 0. 8. Inclusions Tous les nombres de l’ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l’ensemble des entiers relatifs ℤ. On dit que l’ensemble ℕ est inclus dans l’ensemble ℤ. On note : ℕ ⊂ ℤ. On a également les inclusions suivantes : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ⅅ   ⊂ ℚ ⊂ ℝ Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 3 sur 8 Exercices conseillés p37 n°28 p38 n°48

LES NOMBRES COMPLEXES 1.1 Introduction Dans ce chapitre comme dans la suite du polycopi´, nous utiliserons les symboles suivants : e 1. Symboles ensemblistes • ∈ : appartenance ; si E est un ensemble, x ∈ E se lit : “x appartient a E”. ` • ⊂ : inclusion ; si E et F sont deux ensembles, F ⊂ E se lit : ”F est inclus dans E” ; il ne faut pas confondre ce symbole et le pr´c´dent, le symbole d’inclusion sert e e uniquement a comparer des ensembles ; ainsi la propri´t´ x ∈ E s’´crit ´galement ` ee e e

classe emboîtante inclusion inclusion sous-classe sous-classe des carrés non rouges des carrés rouges complémentarité Inclusion : comprendre que la classe des carrés est une classe emboîtante qui contient les carrés rouges et les carrés non rouges( les