Inégalité de Markov

Inégalités : petit recueil Thibaut Allemand 6 mars 2007 L'analyse, ce n'est que des inégalités... Table des matières 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Inégalités pour les enfants Inégalité de Young . . . . . . . . . Quelques inégalités logarithmiques Théorème des accroissements nis Inégalité de Taylor-Lagrange . . . Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P(Z > √n ε) + P(Z < −√n ε) = 2 P(Z < −√n ε) = 2FZ(−√n ε) 2 où Z ∼ N (0, 1). Cette quantité est strictement décroissante en n donc converge vers 0 quand ¯ P n → ∞. Etant donné que ε > 0 est arbitraire cela implique que Xn→ 0. Lemme 10. (inégalité de Markov) Si X est une v.a. alors pour tout λ > 0 on a 0 et intégrable (c-à–d E[X] < +∞) P(X λ) E[X] λ Démonstration. Dans le cas où X admet une densité f on a que P(X λ) = 0 ∞ I[λ,+∞[(x) f (x)dx ∞ 0 E[X] x f (x)dx

Programmation linéaire combinatoire (entiers) 17 Algorithme du B&B 17 Illustration de l’algorithme 18 Exemple de modélisation : Localisation d’usines 18 Processus aléatoire : chaînes de Markov 19 Généralités 19 Classification des états 20 Comportement asymptotique et distribution stationnaire 20 Décisions et Chaînes de Markov 21 Exemple du confectionneur 21 Décisions multiples 22 Exemple du confectionneur (suite et fin) 22 Programmation linéaire Exemple classique Soit une firme produisant du A et

........................................................................................................................ 4.3.2. La loi de Poisson……………………………………………………………..…..27 4.4. Inégalité de Bienaymé-Tchébycheff…………………………………..………..27 4.4.1. Inégalité de Markov……………………………………………..…………….28 4.4.2. Inégalité de Bienaymé-Tchébycheff……………………..………28 3 Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (5/10/2002) ...............................................

de l'assurance 2. Modélisation du risque et prime d'assurance 3. Quelques remarques sur le modèle 4. La probabilité de ruine de l'assureur 5. Réduction de la probabilité de ruine de l'assureur 6. Compléments sur la probabilité de ruine : quelques inégalités Enoncés et corrigés des exercices du chapitre 1 Chapitre 2 : Les fonctions probabilistes de l’assurance vie 1. Les principales variables influant de la mortalité humaine 2. Un modèle probabiliste pour représenter la durée de la vie humaine 3. L'indicateur

........................................................................................................................ 4.3.2. La loi de Poisson……………………………………………………………..…..27 4.4. Inégalité de Bienaymé-Tchébycheff…………………………………..………..27 4.4.1. Inégalité de Markov……………………………………………..…………….28 4.4.2. Inégalité de Bienaymé-Tchébycheff……………………..………28 3 Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (5/10/2002) ..............................................

Chaînes de Markov Jean Bérard 2 Avertissement Ces notes sont en cours d'élaboration. Il se peut donc qu'y subsistent un certain nombre d'erreurs, d'incohérences, et/ou de passages inachevés. Table des matières Introduction 7 1 Propriété de Markov 9 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Dénition fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mesure sur l'espace des trajectoires .

combinatoire (entiers) 15 Algorithme du B&B 15 Illustration de l’algorithme 15 Exemple de modélisation : Localisation d’usines 16 Processus aléatoire : chaînes de Markov 17 Généralités 17 Classification des états 17 Comportement asymptotique et distribution stationnaire 17 Décisions et Chaînes de Markov 18 Exemple du confectionneur 19 Décisions multiples 19 Exemple du confectionneur (suite et fin) 20 Programmation linéaire Exemple classique Soit une firme

application de la méthode de chaînes de Markov non stationnaires à la région Midi-Pyrénées Nejla Ben Arfa Série « Master of Science » n°81 2006 ii Ben Arfa N. – « Politique agricole et changement structurel des exploitations agricoles : une application de la méthode de chaînes de Markov non stationnaires à la région Midi – Pyrénées ». Politique agricole et changement structurel des exploitations agricoles : une application de la méthode de chaînes de Markov non stationnaires à la région Midi-Pyrénées

noirs. Exercices rédigés sur les probabilités discrètes Page 5 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Exercice 15 Inégalité de Markov - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev X désigne une variable aléatoire réelle positive prenant un nombre fini de valeurs x1, x2, ... xn rangées dans 0  x1 < x2 < ... < xn l'ordre croissant : 1. Démontrer l'inégalité de Markov. Pour tout réel a > 0 : P(X  a)  E( X ) a Application : selon ses fournisseurs, sa matière première et sa disponibilité