Intégrale de Lebesgue

Intégration TD2 Intégrale de Lebesgue : outils de calculs Préparation à l’agrégation de mathématiques, ENS Cachan. e-mail : ayman@crans.org On désigne par (X, A , µ) un espace mesuré. L 1 (µ) désigne l’ensemble des fonctions mesurables complexes f définies sur X vérifiant : |f |dµ < ∞ X 1 Théorème fondamental du calcul : Ce théorème regroupe deux résultats, connus depuis l’intégrale de Riemann (on omet volontairement les hypothèses pour l’instant) : x « F (x) := f (t)dt définit

Académie Internationale Mohammed VI de l’ Aviation Civile Casablanca Ingénieurs de l’ Aviation Civile Année 2008 Analyse Intégrale de Lebesgue —————————————————————————————— 1 Tribu Soit X un ensemble on note par P(X) l’ ensemble de tous les sous-ensembles de X. Une collection d’ ensembles A P(X) est dite tribu sur X si (a) X 2 A, (b) A 2 A ) Ac := X n A 2 A, 1 S Ai 2 A (c) (Ai )i2N A ) i=1 (Stabilité par réunion dénombrable). Si A est une tribu sur X, on dit que

fonctions. Dans les année 1900 ,Henri-Léon Lebesgue, mathématicien français, expose les sommes de Lebesgue, où il faut partitionner de l’image de la fonction. En 1960, Henstock et Kurzweil proposent une nouvelle intégrale à peine plus compliquée que l'intégrale de Reimann, mais aussi performante que celle de Lebesgue. Résumé des techniques de partition soit : Avant Lebesgue : 1-Diviser l'intervalle en x; 2-Choisir valeur de y; 3-Passer à la limite. Lebesgue : 1-Diviser l'intervalle; 2-Choisir

scientifiques ont des chances de croiser à nouveau cette fonction f à cause de l’intégrale de Lebesgue qui est actuellement étudiée après le bac beaucoup plus couramment qu’elle ne l’a été : cette fonction f est en effet probablement l’exemple le plus simple de fonction Lebesgue-intégrable mais non intégrable au sens de Riemann. Sur l'intervalle d'intégration J = [a ;b], Riemann (à droite) subdivise J alors que Lebesgue (à gauche) subdivise f (J). (images et texte tirées du site Chronomath.com) f n’est

. . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Comparaison avec l’intégrale de Riemann . . . . . . . 2.5.2 Intégrales dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . 2.5.3 Application : la fonction Γ d’Euler . . . . . . . . . . . . Mesure de Lebesgue sur Rd 3.1 Mesures extérieures . . . . . . . . . . 3.2 La mesure de Lebesgue . . . . . . . . 3.3 Classes monotones . . . . . . . . . . 3.4 Propriétés de la mesure de Lebesgue 3.5 Théorème de représentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii . . . .

maths-france.fr 1 1 (version maths sup). Le travail précédent peut être effectué « à la main » en maths sup. n2 n=1 On établit d’abord un outil capital de la démonstration du théorème de Dirtichlet : le lemme de Lebesgue. 2) 2eme calcul de a/ Une expression de 1 sous forme intégrale. n2 π +∞ On cherche des réels a et b tels que ∀n ≥ 1, 0 (at2 + bt) cos(nt) dt = 1 . n2 Soit n ∈ N∗ . Deux intégrations par parties fournissent π (at2 + bt) cos(nt) dt = (at2 + bt) 0 sin(nt)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 2.2.5 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extension de la notion de densité . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Intégrale par rapport à une mesure . . . . . . . . 2.3.2 Absolue continuité d’une mesure par rapport à autre. Densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Mélange de lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Densités conjointes, marginales

Définitions : La tribu µ₁-complétée de la tribu de Borel est appelée la tribu de Lebesgue de ℝ, notée. La mesure complétée de µ₁, → [0, +∞[ est appelée mesure de Lebesgue de ℝ et est notée λ₁. 2.4.4 Vocabulaire : Una partie de ℝ qui est µ₁-négligeable (ou λ₁-négligeable) est dite Borel-négligeable (ou Lebesgue-négligeable). 2.4.5 Théorème : (i) ∀x ∈ ℝ, {x} est Lebesgue-négligeable. (ii) Toute partie au plus dénombrable de ℝ est Lebesgue-négligeable. Démonstration : (i) Soit x ∈ ℝ, {x} = , et ((n≥1) décroît

95 CHAPITRE VII . CALCUL D'AIRES ET CALCUL INTEGRAL EN TS. INTRODUCTION à l'essai pédagogique. 1°Partie : EVOLUTION HISTORIQUE DU CALCUL DE L’AIRE DU SEGMENT DE PARABOLE. A Quadrature du segment de parabole selon ARCHIMEDE. I (ACTIVITE) 1° Propriétés géométriques du segment de parabole 2° Duplication . II (COURS): Aire du segment de parabole par Archimède. B Quadrature du segment de parabole selon B. PASCAL. I (COURS) Démonstration par la méthode des « indivisibles » II ( TRAVAUX

Intégrale à paramètre   Supposons que f soit une fonction de deux variables définies sur I×J, où I et J sont des intervalles, à valeurs dans R. On peut alors intégrer f par rapport à une variable, par exemple la seconde, sur l'intervalle J. On obtient une valeur qui dépend de la première variable. Plus précisément, on définit une fonction F sur I par On dit que la fonction F est une intégrale dépendant du paramètre x. On parle plus communément d'intégrale à paramètre. Bien sûr, on ne peut