Interpolation numérique

TP Mathématiques appliquées ESAT TP2 : Interpolation polynomiale Objectif : Au cours de ce TP nous serons amenés à programmer les différentes méthodes d’évaluation d’un polynôme en un point. I. Interpolation de Lagrange et méthode des moindres carrés Exercice 1 : Les masses volumiques du matériau pour différentes températures sont données par le tableau ci-dessous : i 1 2 3 Température T (en °C) 94 205 371 Masse volumique R(T) : (en kg/m3) 929

coefficients de variation : . Cependant, les intervalles bilatéraux nous renseignent sur une plus grande concentration des données dans le cas des hommes, autour de la moyenne arithmétique. DETERMINATION DE LA PROPORTION P PAR INTERPOLATION LINEAIRE Par interpolation linéaire, Effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés croissants D’où 29 29 0 20 23 25 Limites des classes d’âge La valeur pour ans est connue car lue dans le tableau. Elle correspond à 235 individus

2 1.1 Définition – Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Un cas particulier important : fonctions valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Interpolation linéaire 6 Table des figures 1 Un exemple de fonction affine par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Fonction valeur absolue de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

chaque classe avec : qi = ni X i ∑ niX i • Calcul des valeurs globales relatives cumulées (Qi) avec : Qi = ∑ ∑in iX nX i i • Identification de la classe dans laquelle se situe Qi = 50% ou Qi = 0,50 • Calcul de la médiale par interpolation linéaire. Ex : salaires bruts semstriels des jeunes diplômés de l’Université de Nulpar après cinq années d’expérience en K€ : Salaires semstriels en K€ [5 ; 10[ [10 ; 12[ [12 ; 14[ [14 ; 16[ [16 ; 18[ [18 ; 20[ [20 ; 25[ [25 ; 30[ TOTAUX Effectifs

Méthode des Trapèzes La méthode d'approximation d'une intégrale ainsi dénommée repose sur le calcul de l'aire d'un trapèze, vue comme l'intégrale d'une fonction affine f sur IR, donc du type :" f(x) = Ax + B" , pour tout couple (a;b) de réels, on a, comme le montre un calcul sans difficulté particulière : f(x)dx = [A + Bx = (b - a)x , car  b 2 − a 2  =  b − a   b  a  Cette formule d'intégration est à rapprocher de celle qui donne l'aire d'un trapèze, si on interpréte, dans

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4.2 La d´composition de Cholesky A = CC ⊤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5 C’est fini ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Interpolation polynomiale 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Base canonique - Syst`me de Van-der-Monde e 3.3 Polynˆme de Lagrange . . . . . . . . . . . . . o 3.4 Base de Newton - Diff´rences divis´es . . . . e e 1 . . . . . . .

itératives 4.1. Méthode de Jacobi 4.2. Méthode de Gauss-Seidel Polynômes et interpolation polynomiale Résolution des équations non linéaires 1. Opérations sur les polynômes dans MATLAB 1.1. Multiplication des polynômes 1.2. Division des polynômes 2. Manipulation de fonctions polynomiales dans MATLAB 2.1. Évaluation d’un polynôme 2.2. Interpolation au sens des moindres carrés 3. Interpolation linéaire et non linéaire 4. Interpolation de Lagrange 5. Résolution d’équations et de Systèmes d’équations non Linéaire

les Babyloniens n’hésitaient pas à faire une interpolation linéaire pour trouver des valeurs approximatives... On trouve un exemple clair de l’usage pratique d’interpolation avec des tables exponentielles dans un texte-problème qui demande combien de temps il faut pour qu’un capital double si le taux d’intérêt annuel est de 20 %. La réponse est 3;47,13,20, soit 3 ans 47/60 13/3600 20/216000. Il semble très clair que le scribe a utilisé une interpolation linéaire entre les valeurs s (1;12)3 et (1;12)4

à partir de 26. Pour 26, on obtient (-972), pour tendre vers 0, on a besoin de passer de 26 à 24 et puis à 23. Pour 24, on a (-244) alors pour 23, on a 12. On peut déduire que la racine évidente est comprise entre 23 et 24. En procédant par interpolation linéaire, on aura : [pic]. en remplaçant dans l’équation lambda par 23,05, on obtient une valeur proche de 0,8. Alors la variance restituée par le premier facteur est de 23,05/36,4=63,32% Alors les deux autres facteurs restituent 36,68% , on

Ressources: Capteurs Optiques TES TS AV2 Spécificités des capteurs couleur: La caméra est l'un des éléments principaux de la chaîne d'acquisition d'une image. De nombreux types de caméras existent dans le domaine de l'industrie : caméras analogiques ou numériques, caméra linéaires ou matricielles, caméra multi-spectrales. Les capteurs d'image utilisés en analyse d'image couleur, sont généralement des caméras possédant un élément sensible à la lumière reçue. Ces éléments sensibles peuvent être un tube électronique