Intervalle de confiance

S3 Maths et Info-MIAGE 2011-2012 Statistique et Probabilités Estimation, intervalle de confiance, tests - Moyenne Université de Picardie Jules Verne UFR des Sciences 2011-2012 Licence mention Mathématiques et mention Informatique parcours MIAGE - Semestre 3 Statistique et Probabilités Estimation, intervalle de confiance, test statistique (suite) Cas d’une ou de deux moyennes, d’une ou de deux variances 1. Introduction On s’intéresse à l’étude d’un caractère (quantitatif ou

Cours n° 4 : L'INTERVALLE DE CONFIANCE. La notion d'intervalle de confiance renvoie au degré de précision d’une moyenne ou d’un pourcentage. On travaille sur un échantillon et l'on souhaite connaître la fiabilité que l'on peut accorder aux valeurs observées par rapport aux valeurs réelles de la population totale. A : L'intervalle de confiance d'une moyenne : Par exemple, avec une population mère (cad totale) de plus de 500 personnes, nous avons calculé à partir d'un échantillon de 30 personnes la

ESTIMATEURS, INTERVALLES DE ` CONFIANCE ET TESTS D’HYPOTHESES Paul Lescot 05 Mai 2009 1.Estimateurs ˆ Soit θ un param`tre (ou une fonction des param`tres) de la loi d’une variable e e al´atoire X (par exemple l’esp´rance ou la variance), et soit alors X1 ,...,Xn ,... une e e suite de variables al´atoires ind´pendantes et chacune de mˆme loi que X. On e e e ˆa cherche ` estimer θ ` partir d’un ´chantillon empirique. On appelle estimateur de a e ˆ θ une fonction θn = gn (X1 , ..., Xn ) des n

TD4 Estimation et intervalles de confiance Exercice 1 1. Les individus de l’étude sont des plants de pois à fleurs blanches. 2. Le caractère étudié est le nombre de fleurs par plant. C’est un caractère discret quanti- tatif. 3. C’est une fonction de l’échantillon aléatoire généralement noté θ̂ = f(X1, . . . , Xn). 4. Un estimateur non biaisé de la moyenne théorique µ est la moyenne empirique : X̄n = 1 n n∑ i=1 Xi L’estimation associée est : x̄n = 1 80(14 × 3 + · · · + 11 × 7) ≈ 4.96 5. Un estimateur

minimale. Estimation par intervalle Exemple : Pour estimer µ le revenu moyen des ménages dans une région, on prélève un échantillon aléatoire de 100 revenus. La moyenne de l’échantillon [pic]est alors un indicateur raisonnable de µ, puisque en vertu de l’approximation normale, [pic]fluctue autour de µ. On essaie donc de construire un intervalle d’estimation autour de [pic]qui a des chances d’encadrer µ. 1 Estimation par intervalle de la moyenne d’une population :

Opération et systèmes de décision Faculté des Sciences de l’Administration MQT-21919 Probabilités et statistique Estimation par intervalle Chapitre 8 Lectures  Volume obligatoire: Chapitre 8  Volume recommandé, Statistique en gestion et économie: sections 4.4.2 et 4.4.4 ainsi que pages 227-242 Résumé des distributions x d’échantillonnage de  Si n est grand (plus grand que 30), alors x suit 2 x  x une loi Normale et: 2 x  N ( , ) – Si la valeur de  est connue alors: n 2 – Si

1 au terme de  n  lancers d’un dé parfait ; alors : 1 5 1 5  ; + 1,96 I1 =  − 1,96  6 n 6 6 n 6 est un intervalle de fluctuation de Fn  au seuil de 95 % dans le 1 cas du dé cubique (sous les conditions n  30 ; n ×  5 ; 6 5 n ×  5 ; ce qui se réduit à n  30). 6 1 3 1 3  • De même, I 2 =  − 1,96 ; + 1,96  est un 4 4 n 4 4 n  intervalle de fluctuation de Fn  au seuil de 95 % dans le cas 1 du dé tétraédrique (sous les conditions n  30 ; n ×  5 ; 4 3

en unilatéral t=2,26 Intervalle de confiance I. Intervalle de confiance d’une proportion 1) Principe Un intervalle permet d’avoir une marge d’erreur et donc d’estimer une probabilité qui peut être juste quelque soit la période. Fn est une proportion de gens qui votent C dans un échantillon pris au hasard. C’est donc une variable aléatoire. Fn suit une loi normale (p ; racine carrée de pq/n) Racine carrée de pq/n = écart type L’intervalle dépend de la confiance que l’on va donner à nos

échantillon-test permet d'estimer sa proportion dans l'ensemble de la population, à une marge d'erreur près. Avec un taux de confiance de 95 %, un intervalle de fluctuation de la proportion peut être calculé. Il dépend de la taille de l'échantillon et de la fréquence. En Première, la loi binomiale permet de diminuer l'amplitude de cet intervalle et de faire varier le taux de confiance. L'échantillonnage est une aide à la prise de décision pour les entreprises, l'État ou les collectivités locales. 1.

Rappels sur les intervalles de confianceQuelques rappels sur les intervalles de confiance I/ Généralités Soient : X une variable aléatoire de loi paramétrée par θ et X 1 ,...,X n n variables i.i.d selon la loi de X. 1) Principe d’un intervalle de confiance Plutôt que d’estimer ponctuellement la vraie valeur inconnue du paramètre θ , on recherche un intervalle recouvrant «très vraisemblablement » cette vraie valeur. Définition : On appelle intervalle de confiance de niveau de confiance 1− α du paramètre