Isobarycentre

pentagone régulier ABCDE, il suffit de placer le point C symétrique de A par rapport à (OB), le point E intersection des cercles (C1) et (C4), le point D est l'intersection du cercle circonscrit et de la médiatrice de [AB] qui passe par O. 12 9. Isobarycentre du pentagone O, intersection des axes de symétrie du pentagone, en est le centre de gravité, donc : [pic]+[pic]+[pic]+[pic]+[pic]= [pic] ; Choisissons un repère où [pic]est le vecteur unité de (Ox) : xA = 1. En étudiant les abscisses on

ou trois inéquations du premier degré à deux inconnues. - exemple(s) de caractérisation d’une région du plan par un système d’inéquations. Me20 Barycentre d’un système de n points pondérés, dans le plan ou l’espace : - définition, propriétés, - isobarycentre de deux, trois, quatre points, - exemples d’utilisation. Me21 Médianes, médiatrices et hauteurs d’un triangle : - définitions, construction à la règle et au compas, propriétés, - cas des triangles particuliers, - droite d’Euler, ... Me22 Translation

est appelé barycentre de ( A , a ) , ( B , b ) , ( C , c ) . Comme dans le cas de deux points pondérés : HOMOGENEITE : Le barycentre ne change pas lorsqu’on multiplie les coefficients par un même nombre non nul . ISOBARYCENTRE : Si a = b = c ( 0 ) , G est encore appelé isobarycentre de A , B et C . On verra en exercice que si A , B et C ne sont pas alignés alors l’isobarycentre de A , B et C est le centre de gravité du triangle ABC . PROPRIETE FONDAMENTALE : Après quelques calculs, on montre

non nulle, est l'unique point G vérifiant : → → → → → a1 GA1 + a2 GA2 + a3 GA3 + ⋯ + an GAn = 0 , c'est-à-dire i=n i=1 ∑ ai MAi = 0 → → (Le barycentre ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k ∈ IR*) On appelle isobarycentre des points A1, A2, ⋯ , An, le barycentre de ces points tous affectés d'un même coefficient non nul. L'isobarycentre de deux points A et B est le milieu du segment [AB]. L'isobarycentre de trois points A, B, C est le centre de gravité du triangle

4.3.1 Théorème d’existence et définition . . . . . . . . . 4.3.2 Autres caractérisations du barycentre . . . . . . . . 4.3.3 Bilan des propriétés caractéristiques du barycentre 4.3.4 Autres propriétés du barycentre . . . . . . . . . . . 4.3.5 Isobarycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.6 Coordonnées du barycentre de deux points . . . . 4.4 Barycentre de plusieurs points pondérés . . . . . . . . . . 4.4.1 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Associativité

ai est non nulle, est l'unique point G vérifiant : i=n → → → → → a1 GA1 + a2 GA2 + a3 GA3 + ⋯ + an GAn = 0 , c'est-à-dire → ∑ ai MAi = 0 → i=1 (Le barycentre ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k ∈ IR*) On appelle isobarycentre des points A1, A2, ⋯ , An, le barycentre de ces points tous affectés d'un même coefficient non nul. L'isobarycentre de deux points A et B est le milieu du segment [AB]. L'isobarycentre de trois points A, B, C est le centre de gravité du triangle

On peut donc conclure que les vecteurs AK, AI et AJ sont coplanaires et donc que les points A, I, J et K sont coplanaires. Séquence 4 – MA12 190 © Cned – Académie en ligne Exercice 2 On considère un tétraèdre ABCD et on appelle G son isobarycentre. Soit I le centre de gravité du triangle BCD ; exprimer AG en fonction de AI. Montrer que le point G appartient à chacune des droites passant par un sommet et le centre de gravité de la face opposée. Montrer que ce point G appartient à chaque droite

p+ q et 2 2 2 2 On admettra que l’on a ´galement les r´sultats s = e e u= 1+i 1−i q+ m, o` s, t et u d´signent les affixes respectives des points S, T et U . u e 2 2 2. D´montrer que les quadruplets (M, N, P, Q) et (R, S, T, U ) ont le mˆme isobarycentre. e e 3. (a) D´montrer l’´galit´ u − s = i(t − r). e e e (b) Que peut-on en d´duire pour les longueurs des segments [RT ] et [SU ], d’une part, et pour les e droites (RT ) et (SU ), d’autre part ? Partie B Fr´d´ric Demoulin e e Page

Hauteur, 53 Homoth´etie, 20 Image, 51 Interpr´etation g´eom´etrique, 45 Intersection, 13 Int´egrale, 8, 17, 19, 22, 37, 38, 65, 66 Int´egration par parties, 6, 10, 12, 17, 32, 37, 38, 56, 58, 59, 64 In´egalit´e des accroissements finis, 15, 57 Isobarycentre, 52 Ligne de niveau, 52 81 INDEX Annales du baccalaur´eat S 2000 Limite, 6, 12, 19 Loi de probabilit´e, 23, 30, 39 Sym´etrie, 50 Syst`eme d’´equations, 44 Maximum, 14 Milieu, 6 Minimum, 21 Module, 6, 20, 31, 45, 46, 50 M´ediatrice, 48 Tangente

Encore une fois la formule est homogène, chaque membre ayant la dimension d’une longueur à la puissance quatre. Exercice 4.3 : Droite d’Euler Soit ABC un triangle non aplati, O le centre de son cercle circonscrit, H son orthocentre et G son isobarycentre. Le but de cet exercice est de montrer que O, G et H sont alignés. Quand ces trois points ne sont pas confondus (i.e. quand le triangle n’est pas équilatéral) la droite qui les porte s’appelle la droite d’Euler du triangle ABC. On rappelle