Isométrie affine

Involution La symétrie axiale est — comme toute symétrie — une involution, c'est-à-dire qu'on retrouve le point ou la figure de départ si on l'applique deux fois. En particulier, c'est une bijection. 4- Conservation La symétrie axiale est une isométrie affine ; elle conserve : l'alignement (la symétrique d'une droite est une droite), le parallélisme (les symétriques de deux droites parallèles sont parallèles), les distances, les angles géométriques (le symétrique d'un angle est un angle de même mesure)

Plan ---- 1. Géométrie affine 1.1 Espaces affines 1.2 Sous-espaces affines 1.3 Repères 1.4 Applications affines 1.5 Le groupe affine 1.6 Convexité 2. Dualité et algèbre bilinéaire 2.1 Dualité 2.2 Formes quadratiques 2.3 Espaces vectoriels euclidiens 2.3.1 Sous-espaces, symétries, projections 2.3.2 Le groupe orthogonal 2.3.3 Orientations 2.3.4 Le groupe orthogonal d'un plan vectoriel euclidien 2.3.5 Angles de vecteurs 2.3.6 Angles de droites 2.3.7 Le groupe des isométries vectorielles de l'espace

des matières 1 2 3 Espaces affines 1.1 Définition et propriètés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Proprièté du parallélogramme . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Sous-espace affine engendré par un ensemble de points 1.2.3 Intersection de deux sous-espaces affines . . . . . . . 1.2.4 Parallélisme

) , le noyau de A est, par définition, Ker ( A ) = { X ∈ M q,1 ( R ) , AX = 0} 1/6 Par ailleurs, on note : pour n entier n ≥ 2 , En l’espace n muni du produit scalaire canonique à la fois considéré comme espace vectoriel euclidien et espace affine euclidien. I. GÉNÉRALITÉS 1. Résultat préliminaire a. Que peut-on dire d’une matrice Y ∈ M n ,1 ( b. Si A ∈ M n , p ( ) vérifiant t Y Y = 0 ? puis en déduire que ) , montrer que Ker ( t A A) ⊂ Ker A rang ( t A A) = rang A .

Combinaisons linéaires de vecteurs, droites et plans dans l’espace D ÉFINITION 3.1 ♥ Droite vectorielle, droite affine − − – Soit → un vecteur non nul de l’espace. On appelle droite vectorielle engendrée (ou dirigée) par → l’ensemble D des u u →: − vecteurs de l’espaces colinéaires à u − D = → ∈ V | ∃λ ∈ R : v → = λ→ − − v u − − – Soient A un point et → un vecteur de l’espace. La droite affine passant par le point A et de vecteur directeur → est u u −→ → − − sont colinéaires : l’ensemble D des points

LEÇON N°3 LE THÉORÈME DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE Le Théorème de Thalès Savoir-Faire Cours et conseils Décrire simplement la figure, en n'oubliant pas que la condition d'utilisation de ce théorème est l'existence de deux droites parallèles ! Exemple Je sais que : . Les droites (AC) et (BD) sont sécantes en G. . Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. . AG = 2 cm ; GC = 3 cm ; BG = 5 cm et CD = 7 cm. Or : D'après le théorème de Thalès Hypothèses. Si . Les droites (d) et (d') sont sécantes

fonctions numériques usuelles 2/7 http://maths-sciences.fr Bac Pro tert II) Fonction affine 1) Définition On appelle fonction affine, toute fonction définie par une expression de la forme f(x) = ax + b ; a et b étant des réels. Remarque : Une fonction linéaire (x  ax) est une fonction affine particulière (b = 0). 2) Représentation graphique La représentation graphique d’une fonction affine dans un repère cartésien est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées. y = ax + b est une

+ v)' = u '+v' (ku )' = ku ' (uv)' = u ' v + uv' v' ⎛1⎞ ⎜ ⎟ =− 2 v ⎝v⎠ ⎛ u ⎞ vu '−uv' ⎜ ⎟ = v2 ⎝v⎠ ' ' Quotient de deux fonctions a) fonction affine f définie par : f(x) = ax +b : Y. Carassou Page 1 Etude_fonctions_exemples.doc Propriété : f ( x ) = ax + b , avec a ≠0où a et b sont deux réels donnés. Soit f la fonction affine x - Si a > 0 , alors la fonction f est croissante sur . - Si a < 0 , alors la fonction f est décroissante sur . Preuve : Si f(x) = ax + b, alors : f ’(x)

Exercice 1 :Vecteurs égaux - Point M Soit le vecteur v ( 1 ; 3 ) et le point A ( 4 ; 5 ). Vérification graphique : Déterminer le point M ( Xm ; Ym ) tel que v ( 1 ; 3 ) = AM Résolution de l'exercice : On a AC = ( Xm - Xa ; Ym – Ya ) = v ( 4 ; 5 ) Xm – Xa = 1 donc Xm – 4 = 1

Chapitre 13 – Évaluer ses capacités – Résolution détaillée Exercice 100 1. Méthode 2. On commence par calculer les coordonnées des vecteurs et : donc donc . . On constate que les vecteurs et ont les mêmes coordonnées. Ces vecteurs sont donc égaux. On en déduit que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. On utilise la méthode décrite dans l’exercice résolu 4, page 319 Conseil • Attention à l’ordre des points. ABCD parallélogramme alors = • On peut vérifier graphiquement les coordonnées