Isomorphisme de graphes

algébriques topologiques 25 formelle de cette notion, mais il est utile de s’habituer à cette façon de parler. On dit alors : – Un isomorphisme est un morphisme f : M → N tel qu’il existe un morphisme f −1 : N → M avec f ◦ f −1 = idN et f −1 ◦ f = idM . (Dans le cas des espaces topologiques on les appelle aussi homéomorphismes.) – Un automorphisme est un isomorphisme f : M → M d’un objet sur lui-même. Par exemple, les espaces métriques, eux aussi, forment une catégorie. Leurs morphismes sont les

inversibles dans une algèbre de Banach, etc.). Enfin, la complétude est évidemment centrale tout au long de ces chapitres, VII Avant-propos avec les théorèmes de Baire (chapitre 2, sommes de fonctions partout sans dérivée), de Banach-Steinhaus, du graphe fermé et de l’application ouverte (Chapitres I, II, IV, VI par exemple). 3. Intégration et théorie de la mesure : Une classe très intéressante d’opérateurs, les opérateurs intégraux, est étudiée au chapitre VIII, où la théorie de l’intégration est

−→ IR+ −→ x2 alors : f = g, car elles n’ont pas le même ensemble d’arrivée. f = h, car elles n’ont pas le même ensemble de départ. f = k, car elles n’ont pas ni le même ensemble de départ ni le même ensemble d’arrivée. Définition 2.10 On appelle graphe d’une application f : E −→ F , l’ensemble Γf = {(x, f (x)), x ∈ E} En fait, la définition d’une application f revient à la donnée d’un sous ensemble Γf de E ×F tel que ∀(x, y), (x′ , y ′ ) ∈ Γf , (x, y) = (x′ , y ′ ) ⇐⇒ x = x′ 2.2.1 Composition

−→ IR+ −→ x2 alors : f = g, car elles n’ont pas le même ensemble d’arrivée. f = h, car elles n’ont pas le même ensemble de départ. f = k, car elles n’ont pas ni le même ensemble de départ ni le même ensemble d’arrivée. Définition 2.10 On appelle graphe d’une application f : E −→ F , l’ensemble Γf = {(x, f (x)), x ∈ E} En fait, la définition d’une application f revient à la donnée d’un sous ensemble Γf de E ×F tel que ∀(x, y), (x′ , y ′ ) ∈ Γf , (x, y) = (x′ , y ′ ) ⇐⇒ x = x′ 2.2.1 Composition

E, ∀ x' ∈ E, f(x) = f(x') ⇒ x = x' Si f est injective, l'équation f(x) = y a au plus une solution, quel que soit y. Si f et g sont injectives, alors g o f l'est. En effet : - 11 -  La partie G de E × F égale à {(x, y), y = f(x)} s'appelle graphe de f. On note l'ensemble des applications de E dans F. (E, F) (ou parfois FE) ⇒ ⇒ ⇒ (g o f)(x) = (g o f)(x') (g(f(x)) = g(f(x')) f(x) = f(x') x = x' (définition de g o f) (injectivité de g) (injectivité de f) c) Surjection : Une fonction

”tout ´l´ment de a est ´l´ment de b” ; ee ee - le couple (a; b) est d´fini comme l’ensemble {{a}; {a; b}} ; e - une application est un ensemble de couples qui, deux-`-deux ont des premi`res composantes distinctes (ce qu’on a a e coutume d’appeler le graphe) ; - les entiers sont d´finis ainsi : 0 = ∅, 1 = {0} = {∅}, 2 = {0; 1} = 1 ∪ {1}, . . . , n = {0; . . . ; n − 1}, n + 1 = {0; . . . ; n} = e n ∪ {n},. . . On a enfin deux axiomes permettant de ”construire” des ensembles de fa¸on un peu plus raffin´e

longueur de la narration et la récurrence des thèmes. C'est donc par l'application à ces continus de « grilles » naturelle et culturelle que se constitue un premier niveau d'articulation discontinu, puis des organisations d'ordre supérieur. Cet isomorphisme nous permettra d'énoncer que si « la musique expose à l'individu son enracinement physiologique », la mythologie « fait de même avec son enracinement social ». Plus fortement, ainsi que l'écrit Lévi-Strauss, « l'une nous prend aux tripes, l'autre

. . . . . . . . . . . . . . 93 6.3. Image d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.4. Graphe et représentation graphique d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.5. Toute courbe du plan est-elle le graphe d’une fonction ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.6. Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

la droite d’équation y = v rencontre le graphe de f en deux points distincts. Dans ce cas v possède deux antécédents distincts x1 et x2 pour f. Donc f n’est pas injective. Si v < 0 la droite d’équation y = v ne rencontre pas le graphe de f . Dans ce cas v n’a pas d’antécédent pour f donc f n’est pas surjective. Exemple 2 : On considère f : [0, +∞[→ R x −→ x2 T y = f (x) y=v>0 • u y=v0 E • • u1 u2 Si v > 0 la droite d’équation y = v rencontre le graphe de f en deux points distincts. Dans ce

avons repérées au paragraphe précédent pourraient alors trouver leur place sur le graphique suivant 8 : 8 Plus l’on s’oriente vers la flèche, plus cette finalité est prépondérante comme déterminant de l’action. N’oublions pas qu’il s’agit d’un graphe à trois axes… Intérêt limité Non-territorialisé E de M* Paternalisme Mutualisme Coopératisme Humanitarisme Plus value sociale Associationnisme Charité Plus value privée Etatisme Economie solidaire Territorialisé Intérêt