Isomorphisme de graphes

Soit E un espace vectoriel de dimension �nie et f, g ∈ L (E) telles que f2 = g2 = IdE et f ◦ g + g ◦ f = 0. 1. Montrer que : a) f et g sont des automorphismes. b) f et g sont diagonalisables. c) Sp(f) = Sp(g) = {−1, 1}. 2. Montrer que g induit un isomorphisme de ker(f − IdE) dans ker(f + IdE). 3. Montrer que dimE est paire. On notera dimE = 2n. 4. Montrer qu'il existe une base B dans laquelle les matrices de f et g sont respectivement ( In 0n 0n −In ) et ( 0n In In 0n ) . IV. Divers Exercice 13. [Centrale

(a · u) = a · f (u). Soit f : E → F linéaire. • Si f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de E sur F. • Si F = E, on dit que f : E → E est un endomorphisme de E. • Si f : E → E est bijective, on dit que f est un automorphisme de E. • Si F = R, on dit que f : E → R est une forme linéaire. Pour prouver que f : E → F est linéaire, on utilise la définition. Pour prouver que f linéaire est : un isomorphisme, il suffit de prouver qu’elle est bijective ; un endomorphisme : f (E) ⊂ E ; un automorphisme

et g(t) = −t4 + t2 . 2. Dessiner le graphe d’une fonction g telle que E contienne un maximum local. 3. En g´n´ral, une fonction strictement d´croissante dans ]a, b l’est-elle encore dans [a, b] ? Et e e e si on suppose de plus la continuit´ en a ? e 4. a. Montrer que E est vide si et seulement si g est d´croissante dans [a, b]. e b. Soit M = sup[a,b] (g), montrer que E =]a, b[ entraˆ M ∈ {g(a), g(b)}. Illustrer les ıne deux possibilit´s en dessinant un graphe. La r´ciproque est-elle vraie ? e e Partie

omettre l’adjectif “ numérique ”. Ensuite, on note f (D) l’ensemble d’arrivée de la fonction f , c’est à dire le sous-ensemble de R donné par f (D) = {y = f (x) ; x ∈ D} . On appelle antécédent de y ∈ R tout élément x de D dont l’image par f est y. Le graphe (ou courbe représentative) d’une fonction f : D → R est l’ensemble Gf = {(x, y) ∈ D × R : y = f (x)} . Pour résumer, une fonction f est définie par la donnée de trois objets : un ensemble de départ, un ensemble d’arrivée et la donnée d’une unique

Exercice 40 (Matrice d’adjacence d’un graphe) Un graphe est un ensemble de points, dont certaines paires sont directement reliées par un “lien". Ces liens peuvent étre orientés, c’est-é-dire qu’un lien entre deux points u et v relie soit u vers v, soit v vers u : dans ce cas, le graphe est dit orienté. Sinon, les liens sont symétriques, et le graphe est non-orienté. Les points sont généralement appelés sommets, et les liens “arêtes". On peut représenter le graphe par une matrice, qu’on appelle matrice

ensemble E muni de loi interne notée * vers un ensemble F muni de la loi interne notée ο, est un homomorphisme ou simplement morphisme (endomorphisme si E=F) si et seulement si pour tout couple (x;y) de E x E on a: f(x * y) = f(x) ο f(y). - Un isomorphisme est un homomorphisme bijectif. Exemple 2 : soient 2 ensembles : 1. E: ensemble des chaînes de caractères avec la loi interne concaténation, notée : ο 2. (N,+) La fonction longueur d’une chaîne est un homomorphisme de E dans N 6 Module Théorie

grands th´or`mes de l’analyse fonctionnelle e e Le th´or`me de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Le th´or`me de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . e e Le th´or`me de l’application ouverte . . . . . . . . . . . e e Le th´or`me du graphe ferm´ . . . . . . . . . . . . . . . e e e Autour du th´or`me de Hahn-Banach (hors-programme) e e 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

multiplication, la division et la composition de fonctions continues donnent des fonctions continues. Le graphe d’une fonction continue est l’hypersurface Gf = {x ∈ Rn+1 | xn+1 = f (x1 , x2 , . . . , xn )}. Exemple. La norme f (x) = x est continue sur Rn puisque | x − x0 | ≤ x − x0 . Exemple. Une fonction lin´aire f (x) = aT x est continue sur Rn puisque e |aT x − aT x0 | ≤ a x − x0 . Son graphe est un hyperplan. Exemple. Une fonction quadratique f (x) = xT Ax, o` l’on peut toujours supu n×n est

Montrer que {z : ∃n , zp = 1} est un sous-groupe de × qui n’est pas isomorphe au produit de deux groupes non nuls. indication. Groupe diédral Montrer que le groupe des isométries du plan laissant stable un polygone régulier à n côtés ne dépend pas (à isomorphisme près) du polygone choisi. Quel est son cardinal ? Quels en sont les sous-groupes ? Montrer que ses sous-groupes stricts sont monogènes. n ui n/pi i = 1 ; α 1. concepts algébriques fondamentaux Sous-groupes finis de ( / , +) et quotients

(a · u) = a · f (u). Soit f : E → F linéaire. • Si f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de E sur F. • Si F = E, on dit que f : E → E est un endomorphisme de E. • Si f : E → E est bijective, on dit que f est un automorphisme de E. • Si F = R, on dit que f : E → R est une forme linéaire. Pour prouver que f : E → F est linéaire, on utilise la définition. Pour prouver que f linéaire est : un isomorphisme, il suffit de prouver qu’elle est bijective ; un endomorphisme : f (E) ⊂ E ; un automorphisme