Isomorphisme de graphes

Hyperbole Hypoténuse Identité Impair Inclusion Induction Inégalité Infini (n.) Infini (adj.) Factorial Factorisation Geometrical figure Function Fundamental Formula Fractal Fraction Geometry Affine geometry Analytic geometry Geometric(al) Magnitude Graph Graphic Abelian group Hexagon Homology Homothety, homothecy, dilatation Horizontal Hyperbola Hypotenuse Identity Odd Inclusion Induction Inequality Infinity Infinite 13 Openmirrors.com Vocabulaire thématique français/anglais Les Mathématiques/Mathematics

(groupes, anneaux, etc.) qui respecte les structures, on dit qu’elle est un morphisme. Définition 9. Soient E et F deux espaces vectoriels et f une application de E dans F . On dit que l’application f est un : • morphisme si elle est linéaire, • isomorphisme si elle est linéaire et bijective, • endomorphisme si elle est linéaire et E = F , 14 Maths en Ligne Espaces vectoriels UJF Grenoble • automorphisme si elle est linéaire, bijective et E = F . Voici • • • • • • • • • •

Hyperbole Hypoténuse Identité Impair Inclusion Induction Inégalité Infini (n.) Infini (adj.) Factorial Factorisation Geometrical figure Function Fundamental Formula Fractal Fraction Geometry Affine geometry Analytic geometry Geometric(al) Magnitude Graph Graphic Abelian group Hexagon Homology Homothety, homothecy, dilatation Horizontal Hyperbola Hypotenuse Identity Odd Inclusion Induction Inequality Infinity Infinite 13 Vocabulaire thématique français/anglais Les Mathématiques/Mathematics

binarisation d’une image est d’affecter un niveau uniforme au pixels pertinents et d’´ liminer les autres. e Seuillage ` ` Le seuillage consiste a affecter le niveau 255 aux pixels dont la valeur est sup´ rieure a un e seuil S et 0 le niveau aux autres. Le graphe de la transformation correspondante est le suivant Fonction « seuillage » 20 ´ CHAPITRE 2. TRAITEMENT PONCTUEL DES IMAGES NUMERIQUES ` Seuillage a 70 cel-00125868, version 4 - 4 Jan 2009 Extraction d’une fenˆtre d’intensit´ e e

9782100547678-Fresl-C1.qxd 5/07/10 8:45 Page 23 Chapitre 1 • Fonctions usuelles Le tableau de variations de f prend la forme suivante. x –∞ f'(x) – +∞ 1 0 + –1 – +∞ +∞ +∞ f –∞ –∞ –∞ Traçons, à présent, le graphe de la fonction f. 5 y=–x 4 3 x=1 2 1 0 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1 x=–1 –2 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. –3 –4 –5 Le tableau de variations de g prend la forme suivante

Parties convexes 88 88 91 94 98 Chapitre 4 1 2 3 4 Intégration sur un intervalle quelconque Définitions Propriétés des intégrales convergentes Cas des fonctions positives Chapitre 5 Fonctions de n variables – Continuité 1 Graphe d’une fonction 104 104 Table des matières 2 Continuité d’une fonction de Rn dans R 3 Opérations sur les fonctions continues 4 Propriétés des fonctions continues Chapitre 6 Fonctions de n variables : calcul différentiel

sur Z2 On définit l’opération dans Z2 : (a, b) ∗ (a , b ) = (aa , ab + b). 1. Étudier les propriétés de cette opération. 2. Pour z ∈ Z, on pose fa,b (z) = az + b. Montrer que φ : Z2 → ZZ , (a, b) → fa,b est un morphisme pour ∗ et ◦. 3. Est-ce un isomorphisme ? Correction [002963] Exercice 2964 Composition de relations Soit E un ensemble, et F l’ensemble des relations binaires sur E. Pour R, S ∈ F , on définit la relation R ∗ S par : x(R ∗ S)y ⇐⇒ ∃ z ∈ E tq xRz et zSy. A toute fonction f : E → E,

{z ∈ C | |z| = 1} . On a vu que l’application y → eiy est une application continue et un homomorphisme surjectif de groupes R → S 1 . On a aussi d´termin´ son noyau, le groupe des multiples entiers de 2π. Ainsi e e l’exponentielle d´finit un isomorphisme de groupes e ϕ : R/2πZ − − S 1 . −→ I.4. EXPONENTIELLE ET SURTOUT LOGARITHME 15 −t2/ 2 −it3/ 6 eit it 1 Figure 4. Si on munit R/2πZ de la topologie quotient, ϕ devient un hom´omorphisme (exercice I.27). L’ape plication

l’espace tout entier. Le code Hm a est donc parfait.  5.2.2 a- Codes cycliques Corps finis Th´or`me 5.1 Soit F un corps fini de cardinal q > 1. Alors e e 1. q = pm , o` p est un nombre premier et m un entier positif. u 2. F est unique ` isomorphisme pr`s. a e – Lorsque p est premier le corps F est ´gal ` Z/pZ. e a p – Lorsque q = pm , avec m > 1, on dira que F est une extension de degr´ m de F . e q p Proposition 5.6 Soit F un corps fini. Soit pm (x) un polynˆme irr´ductible de F [x] de o e

sur Z2 On définit l’opération dans Z2 : (a, b) ∗ (a , b ) = (aa , ab + b). 1. Étudier les propriétés de cette opération. 2. Pour z ∈ Z, on pose fa,b (z) = az + b. Montrer que φ : Z2 → ZZ , (a, b) → fa,b est un morphisme pour ∗ et ◦. 3. Est-ce un isomorphisme ? Correction Exercice 2964 Composition de relations Soit E un ensemble, et F l’ensemble des relations binaires sur E. Pour R, S ∈ F , on définit la relation R ∗ S par : x(R ∗ S)y ⇐⇒ ∃ z ∈ E tq xRz et zSy. A toute fonction f : E → E, on associe la