Isomorphisme

Lycée Brizeux PCSI A Éléments de correction du DM no 3 Optique : Focométrie 2008-2009 1. 1.1 1.1.1 Focométrie Lentille convergente : (L1 ) de centre O1 et de distance focale f1 Méthode d’autocollimation 1.1.1.1 On utilise un système optique constitué de la lentille (L1 ) étudiée et d’un miroir plan. La lumière issue de l’objet traverse la lentille, est réfléchie par le miroir et retraverse ensuite la lentille. Si l’objet AB se trouve dans le plan focal objet de la lentille (L1

accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. APPLICATIONS LINEAIRES PLAN I : Morphismes 1) Définition et exemples 2) Image 3) Noyau II : Cas de la dimension finie 1) Isomorphisme 2) Supplémentaire 3) Le théorème du rang Annexe : une application du théorème du rang en S.I. I : Morphismes 1–Définition et exemples Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps . On appelle application linéaire ou morphisme d'espaces

(E , σ(E , E)) est continue. 4) Montrer que u est surjective si et seulement si ut est un isomorphisme faible (c'est-à-dire que ut est une bijection bicontinue pour les topologies faibles- de F sur ut (F )). (Indication : Supposons que u est surjective, ut est continue pour les topologies faibles- d'après 3)ii), pour la continuité de (ut )−1 utiliser la surjectivité de u. Supposons que ut est un isomorphisme faible et soit y ∈ F . Alors y ∈ F est σ(F , F )continu. Montrer que y ◦ (ut )−1 est σ(E

x x x D7 c) Exemples de K 2 dans K 2 . E1 d) Exemples en analyse. E2 : limite, dérivée, intégrale. 3) Vocabulaire. Une application linéaire de E dans lui-même est appelée un endomorphisme de E. Une application linéaire bijective est appelée un isomorphisme d’espaces vectoriels. Un endomorphisme de E bijectif est appelé un automorphisme de E. E3 II) ESPACE VECTORIEL DES APPLICATIONS LINÉAIRES L (E, F ) Notation : L (E, F ) est l’ensemble des applications linéaires de E dans F : L (E, F ) = {f ∈ F

Exercices - Applications linéaires : études théoriques : corrigé Généralités sur les applications linéaires Exercice 1 - Isomorphisme - L1/Math Sup On définit g : G → Im(f ) par g(x) = f (x). Alors : – g est linéaire : c’est une conséquence directe du fait que f est linéaire. – g est injective : si x ∈ ker(g), alors x ∈ G et x ∈ ker(f ). Comme G et ker(f ) sont supplémentaires, on a x = 0. – g est surjective : prenons y ∈ Im(f ). Alors y = f (x) avec x ∈ E. Décomposons x en x = u + v avec u ∈

suppl´mentaires e IV. Sous-espace engendr´ par une partie e V. Espace vectoriel produit VI. Applications lin´aires e 1. D´finition e 2. La compos´e de deux application lin´aires est une application lin´aire e e e 3. La r´ciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme e 4. Les images directes et r´ciproques d’un sev par une application lin´aire sont des sev e e 5. D´finition de Ker f et Im f . e 6. f est surjective ⇔ Im f = F et f est injective ⇔ Ker f = {0} VII. Projecteurs, Sym´tries, et Affinit´s e

e ´ ` 3. On se propose d’ etablir que (5) entraˆne (8) dans le cas ou ni f ni g ne sont bijectives. On suppose ı donc que f et g v´ rifient (5). e a) Montrer que ker(f ) = ker(g). b) Montrer que f induit un isomorphisme f1 de (ker(f ))⊥ sur Im(f ) et que g induit un isomorphisme g1 de (ker(f ))⊥ sur Im(g). −1 ´e c) Montrer que r1 = f1 ◦ g1 v´ rifie r1 (x) = x pour tout el´ ment x de Im(g). e d) Montrer qu’ il existe une application lin´ aire r2 de (Im(g))⊥ dans (Im(f ))⊥ telle que pour

(F, T) est appel´ un isomorphisme. e – Si un tel isomorphisme existe, on dit que (E, ∗) et (F, T) sont isomorphes. D’un point de vue math´matique, deux ensembles isomorphes ont exactement les mˆmes e e propri´t´s, relativement ` leurs lois respectives, et peuvent ˆtre consid´r´s comme deux ee a e ee repr´sentations diff´rentes d’une mˆme situation. e e e – Un isomorphisme de (E, ∗) sur lui-mˆme est appel´ un automorphisme de (E, ∗). e e Proposition (Isomorphisme r´ciproque) e Soit

= R ou C u ∈ L(E, F ) alors u définit un isomorphisme de tout supplémentaire de ker u dans Imu. En particulier les suplémentaires de ker u sont isomorphes Démonstration. Soit G un sous espace vectoreil tel que E = Ker ⊕ G , alors G −→ Imu x −→ u(x) définie bien un isomoprphisme Théorème 1.2. F et F deux sous espaces vectoriels supplémentaires d’un sous espace vectoriel G dans E ,la projection de E sur F parallélement à G définit un isomorphisme de F sur F . Démonstration. Considérons

12. Soit P 2 K n X ]; deg P = n. Soient a0; : : :; an n + 1 scalaires deux a deux distincts. Montrer que la famille : (P (X + ai)i2Nn est une base de K n X ]. +1 13. Soit f 2 L(E; F ) ; f 6= 0 ; dim E et dim F in nies. Montrer : ( f est un isomorphisme) , (8 g 2 L(F; E ) de rang ni , rg(g f ) = rg(f g)). 14. Soit D un polyn^me de K X ] de degre d>1. o 15. 16. 17. 18. 19. (a) Montrer (il s'agit d'un resultat du cours) : K X ] = D(X ) K X ] K d?1 X ]. Soit N 2 N; N > d ; on note