Jacques Hadamard

« profondeur » * 4 Notes et références Histoire[modifier] Le théorème des nombres premiers a été conjecturé par Gauss en 1792 alors qu'il avait seulement 15 ans et par Adrien-Marie Legendre en 1798, puis démontré indépendamment par Jacques Hadamard et de la Vallée Poussin en 1896 à l'aide de méthodes d'analyse complexe, en particulier la fonction ζ de Riemann. À cause de la relation entre la fonction ζ de Riemann et π(x), l'hypothèse de Riemann a une importance considérable en théorie

´ Universite Rennes II L2 MASS — Analyse Feuille de TD 6 Exercice 1 Pour chacune des s´ries enti`res suivantes, d´terminer le rayon de convergence R et e e e le comportement de la s´rie au bord de l’intervalle de convergence, i.e., en x = ±R. e (a) (e) sinh n n n≥0 cosh n x xn n≥2 n ln n (b) (f ) n≥2 (−1)n xn ln n xn n≥1 1+ 1 +···+ 1 2 n (c) (g) (−1)n n n≥1 1×3×5×···×(2n−1) x x2n n≥0 2n (d) (h) xn n≥0 cosh n n! n≥0 x . Exercice 2 1. D´terminer les rayons des s´ries

Exo7 Séries entières Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile Exercice 1 ** Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants : n n 1. ∑+∞ n=1 (ln n) z √ n n 2. ∑+∞ n=1 ( n) z 2 n 3. ∑+∞ n=0 (ln(n!)) z 4. ∑+∞ n=1 5. ∑+∞ n=1 6. ∑+∞ n=1 7. ∑+∞ n=0 1 2 ch 1n + cos 1n n

CCP 2013. Option MP. Math´matiques 1. e Corrig´ pour serveur UPS par JL. Lamard (jean-louis.lamard@prepas.org) e Exercice 1 : une s´rie de Fourier. e 1) • f est une fonction en escalier (p´riodique) donc continue par morceaux et de classe C 1 par morceaux. En outre e f est sa propre r´gularis´e de Dirichlet i.e. 2f (x) = f (x+ ) + f (x− ) pour tout r´el x. Donc, d’apr`s le th´or`me de e e e e e e Dirichlet de convergence simple, la s´rie de Fourier de f converge simplement sur R vers

CCP PSI 1 un corrig´ e 1 1.1 Une ´tude de s´ries. e e Etude de la fonction L. k 1.1 (−1)k−1 x est le terme g´n´ral d’une suite de limite nulle si |x| < 1 et non born´e sinon e e e k (croissances compar´es). Par lemme d’Abel, le rayon de convergence de la s´rie enti`re est ´gal e e e e a ` 1. L est donc d´finie au pire sur ] − 1, 1[ et au mieux sur [−1, 1]. Pour x = 1, il y a convergence e de la s´rie (s´ries de Riemann altern´e ou r`gle sp´ciale, le terme g´n´ral ´tant d´croissant en e e

MP 2011/2012 Chapitre 12 : Séries entières 1 Chapitre 12 – Séries entières 1 1.1 Définition et convergence Série entière Soit (an ) une suite de nombres complexes. Définition 1.1 — On appelle série entière de la variable complexe z de coefficients (an ) la série (de fonctions) série entière de la variable réelle x de coefficients (an ) la série (de fonctions) an xn . – Remarque – 1. Un polynôme est une série entière dont les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang. 2. Les

Licence MASS Seconde Ann´e. e U.F.R. 27 Universit´ de Paris 1. e 2007-2008 Partiel d’analyse S4, juin 2008, Dur´e : 3h e L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit. Cet ´nonc´ comporte 3 pages de texte. e e Lorsqu’une question exige un raisonnement, la pr´cision de celui-ci aura une e part importante dans l’´valuation. e Exercice 1. (10 points) L’objet de cet exercice est l’´tude de l’´quation diff´rentielle suivante: e e e Eλ : xy + (1 − x)y − λy = 0. o` la fonction y est une

R OYAUME DU M AROC ´ Minist` re de l’Education Nationale e et de la Jeunesse Minist` re de l’Enseignement e Sup´ rieur, de la Formation des Cadres e et de la Recherche Scientifique Concours National Commun d’Admission aux ´ Grandes Ecoles d’Ing´ nieurs e Session 2004 ´ ´ E PREUVE DE M ATH E MATIQUES I Dur´ e 4 heures e Concours MP Cette epreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde ´ L’usage de la calculatrice est interdit Concours National Commun – Session

Séries entières 9-1 Sommaire 1. Séries Entières, Convergence 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Série entière . . . . . . . . . . . . . . Rayon de convergence . . . . . . . . Disque ouvert de convergence . . . . Recherche du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 3.3. Développements usuels . . . . . . . . . . . . 5 1 4. Développement en S.E., Somme de S.E. 4.1. Fonction développable en série entière . . . 4.2. Développement en série entière . . . . . . . 4.3. Sommation de

Corrig´ de la premi`re ´preuve de math´matiques e e e e Centrale 2009 - Fili`re MP e Par H. Maarouf CPGE Mohammedia Partie I - Questions pr´liminaires e I.1) La fonction Γ ´tant de classe C ∞ sur ]0, +∞[, donc continue sur [1, 2] et de classe C 1 sur ]1, 2[. En plus, e Γ(1) = Γ(2) = 1. Par le th´or`me de Rolle, il existe c ∈]1, 2[ tel que Γ (c) = 0. e e I.2) La fonction t → (ln t)2 tx−1 e−t est continue, int´grable et non identiquement nulle sur ]0, +∞[ donc pour tout e x strictement positif