Karl Weierstrass

Introduction La théorie des fonctions analytiques a vu le jour avec Augustin-Louis CAUCHY (1789-1857), Bernhard RIEMANN (1826-1866) et Karl WEIERSTRASS (1815-1897). Avec des points de vue différents, ils nous offrent trois approches dont nous pouvons combiner les actions. Cauchy, le précurseur, définit une fonction analytique comme une fonction de variables complexes qui admet en chaque point une dérivée continue. Il a en outre établi qu’une telle fonction peut être représentée par une formule

……………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………. IV Continuité et théorème des valeurs intermédiaires Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815 ; 1897) apporte les premières définitions rigoureuses au concept de limite et de continuité d'une fonction. 1) Continuité Exemples et contre-exemples : f est continue en a f est continue en a f est continue en

1975 avec Benoît Mandelbrot à partir de son essai Les Objets Fractals : forme, hasard et dimension (dont il est donné en [4] une autre édition) mais les premières figures fractales connues datent de la fin du XIXème siècle. La première est dû à Karl Weierstrass qui l'inventa en 1872 pour montrer, par une construction explicite, qu'une fonction continue n'a pas nécessairement de dérivée. Quelques exemples de courbes fractales ; les monstres fractals  La courbe de von Koch L'exemple le plus

exponentielle, logarithme, th´or`me de Caue e chy, principe du maximum, th´or`me de Liouville, indice, singularit´s, fonctions m´romorphes, fonction e e e e ℘ de Weierstrass, produit infini, th´or`me des r´sidus, fonction zˆta de Riemann, th´or`me des nombres e e e e e e premiers. La figure de couverture repr´sente la fonction ℘ de Weierstrass et a ´t´ dessin´e par Olivier Elchinger. e ee e 10 mai 2011 ANALYSE COMPLEXE Mich`le Audin e R´sum´. Ces notes de cours sont une introduction `

bornée alors 1 i. (1pt) g est non bornée ⇔ ⇒ ⇒ ∀M ∈ R, ∃x ∈ [−1, 1[ , |g (x)| > M ∀n ∈ N; ∃xn ∈ [−1, 1[ , |g (xn )| > n ∃ (xn ) ∈ [−1, 1[ ; lim |g (xn )| = +∞ n→+∞ ii. (0 .5pt) , (xn ) ⊂ [−1, 1[ ⊂ [−1, 1] donc d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass ∃ xϕ(n) une sous suite de (xn ) convergente vers α dans [−1, 1] . iii. (1pt) Supposons que α ∈ [−1, 1[ . Comme g est continue sur [−1, 1[ & lim xϕ(n) = α alors lim n→+∞ n→+∞ g xϕ(n) = |g (α)| . (0 .5pt) Or xϕ(n) une sous suite de (xn

7.0.40 Ouverts, fermés et voisinages dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème (Borel-Lebesgue) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Points particuliers de la droite réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 44 47 49 49 8 Notion de la limite d'une fonction 8.0.41 8.0.42 8.0.43 8.0.44 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dénition non formelle . . . . . . . . .

s’il existe une suite extraite de u qui converge vers l. Caractérisation Un réel l est valeur d’adhérence de la suite réelle u si et seulement si pour tout ε > 0, l’ensemble {n ∈ N | un ∈ ] l − ε, l + ε [} est infini. Théorème de Bolzano-Weierstrass De toute suite bornée de réels on peut extraire une sous-suite convergente. De manière équivalente, on peut dire que toute suite bornée de réels possède au moins une valeur d’adhérence. Point clé : on peut raisonner par dichotomie, ou montrer

Calcul scientifique Approximation polynômiale uniforme-Polynômes de Bernstein [pic] On considère les suites suivantes : [pic] Question 1 : Montrons que [pic] [pic] On reconnaît la formule du binôme de Newton, [pic] Dans notre cas, [pic] d’où : [pic] On veut montrer que, [pic] [pic] [pic] On pose[pic]. [pic] On vérifie sur Scilab pour le cas particulier où : x=0,1 et n=3

l’idéal de beauté occidental. 2. Les créateurs demandent de conserver ce droit à la création, qu’importent les « moyens » employés La grande majorité des créateurs ne travaillent qu’avec des mannequins minces et réclament ce droit. En effet, pour Karl Lagerfeld, directeur artistique de la maison de couture Chanel, la haute couture est un art qui doit donner du rêve et l’illusion d’une perfection. Qu’une femme soit considérée comme « trop mince » par des non initiés à ce milieu lui importe peu. L’important

UNIVERSITÉ IBN ZOHR FACULTÉ DES SCIENCES JURIDIQUES ÉCONOMIQUES ET SOCIALES Master Recherche: Economie et gestion des organisations Exposé sous le thème le libre échange et le protectionnisme Prof : A . Noureddine travail réalisé par : *AGUENANE Noureddine * SAIDI Brahim Introduction problématique: libre échange et protectionnisme, Y a-t-il vraiment une politique meilleure ou, selon la conjoncture, on tend à préférer l une à l autre ? Introduction PARTIE I : Approche conceptuelle