Kazimierz Kuratowski

En 1930, Kazimierz Kuratowski démontrait1 qu'un graphe était planaire s'il ne contenait pas de sous-graphe qui soit une expansionnote 3du graphe complet K5, ou du graphe biparti complet K3,3note 4. En 19372, Klaus Wagner donnait une forme analogue et d'ailleurs équivalente3 de ce théorème, en caractérisant ces graphes comme ne contenant ni K5 ni K3,3 comme « mineurs ». Cette forme permet une généralisation facile à de nombreuses familles de graphes ayant une propriété analoguenote 5, par exemple

toujours une arête. On appelle Kn,m le graphe à n + m sommets tel que n de ceux-ci soient chacun reliés à tous les m autres et qu’il n’y ait aucune autre arête. Par exemple, le graphe précédent était K3,3 . Et on a un super-théorème : Théorème 7. (Kuratowski) Un graphe est planaire si et seulement si aucun de ses sous-graphes n’est K5 ou K3,3 La démonstration n’est vraiment pas facile. Nous connaissons maintenant les graphes complets, regardons à l’inverses des graphes avec peu d’arêtes : Définition

encouraged by the practice, otherwise convenient, of using the term 'ordered pair' for each version. On this and other points, the nature of explication as illustrated by the ordered pair may be made wholly evident by retelling the story of Wiener, Kuratowski, and the ordered pair in a modified terminology. In the beginning there was the notion of the ordered pair, defective and perplexing but serviceable. Then men found that whatever good had been accomplished by talking of an ordered pair x, y could