Kurtosis

tester l’existence d’une distribution leptokurtique visualisé dans l’histogramme de la série on procède a deux tests KURTOSIS et SKEWNESS, Après un teste générale  JB de normalité. * Test de KURTOSIS : (épaisseur de la distribution Normal aux queues) On rappelle que la Kurtosis d’une variable aléatoire X correspond à son moment centré d’ordre 4, i.e. μ4=E[X-μ4]. La Kurtosis est une mesure de ”l’épaisseur” des queues de distributions. En règle générale, on exprime cette mesure en contrôlant

nouvelle variable explicative qui pourrait expliquer l’information qui reste dans le terme d’erreur, ou trouver la « forme de l’erreur ». (H5) Normalité des erreurs histogramme des résidus, moyenne, médiane, skewness, kurtosis, test de Jarque-Béra (combi de skewness et kurtosis) (H8) Multicolinéarité matrice de corrélation des variables explicatives, scatter plot deux à deux des variables explicatives, signe des estimations contre intuitif, variable non significative contre intuitif message

les étapes à suivre afin de présenter les histogrammes relatifs aux trois premières catégories : Les histogrammes 2. calcule de la moyenne, médiane, mode, quartile, coefficient de symétrie (skewness), coefficient d’aplatissement (kurtosis), écart-type et variance. Tout ceci peut etre fait en une seule étape comme le montre l’image ci dessous : Résultats Pour un nombre d'observations N = 5000 on retrouve pour chacune des catégories on a : Statistics Age en années

05 : le modèle est globalement significatif Test Durbin-Watson stat On remarque que DW test = 1,85 il est dans la zone d’absence d’auto corrélation des erreurs d’ordre 1 Problème de normalité jarque bera loin de 5, skewness loin de 1 et le kurtosis <3 jarque-bera Probabilité= 0, 6274 > 0,05 les erreurs ne suivent pas la loi normale On doit augmenter la taille de l’échantillon. Problème d’hétéro scédasticité (test de white) Heteroskedasticity Test: White F-statistic 0.826427

symétrique: =0 k mk = E X k • Moment non-centré d'ordre k: • Remarques : Variance Var(X) = moment centré d'ordre 2 Espérance E(X) = moment non-centré d'ordre 1 Coefficient d'asymétrie : skewness 3 1 = Coefficient d'aplatissement : kurtosis 4 2 3 = 4 A. ROGOZAN – Ph. LERAY 24 

proprement parler si les données suivent une loi normale, mais plutôt si le kurtosis et le coefficient d'asymétrie des données sont les mêmes que ceux d'une loi normale de même espérance et variance. On a donc: Le test statistique est donné par la formule : Avec ; n = Nombre d'observations k = Nombre de variables explicatives S = Coefficient d'asymétrie : Moment d'ordre 3 d'une variable centrée-réduite K = Kurtosis : Moment d'ordre 4 d'une variable centrée-réduite Comme estimateur

centrale Indicateur de dispersion Graphiques appropriés Tests Nominales Mode Secteur ordi Mode + Médiane Quartiles Diagrammes à batons Quanti Mode Médiane Moyenne Ecart type Variance Quartile Histogramme Boites à moustcahes Kurtosis Skewness Corrélation = lien 2 quanti / 2 ordi / 2 nomi Comparaison = 1 nomi, et on comapre des moyennes, des fréquences Testes paramétriques : compare des moyennes Teste Non paramètriques : compare des fréquences II. Tri croisé  2 variables

statistiques descriptives qui nous intéressent … Mean : moyenne Sum : somme (en colonne) Std. deviation : écart-type Range : rang Minimum : chiffre minimum Maximum : chiffre maximum S.E. mean : erreur-type … les indices de distribution des résultats (Kurtosis et Skewness) … … et l'ordre de présentation des résultats (ici, par ordre alphabétique des noms des variables). 9 Résultats Nombre de cases (sujets) prises en compte. Number of valid observations (listwise) = 250.00 Valid N 250 250

résiduals Arch test Les probabilités étant supérieures à 5%, on accepte Ho. Il n'y a pas d'effet arch. Test sur les coefficients du modèle On fait ce test pour savoir si on a raison de faire un AR(2) Histogramme On constate que la kurtosis est de 20.166, elle est supérieure à 3 donc la distribution est leptokurtique. La skewness est égale à 3.417, elle est positive donc asymétrique. La Jarque-Bera est de 5220.604, sa probabilité est de 0.000000 donc on rejette l'hypothèse d'une

suivante[4]: si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, et si k est un entier compris entre 0 et n, alors où F suit une loi de Fischer de paramètres avec L'espérance, la variance valent respectivement pour d2 > 2 et pour d2 > 4. Pour d2 > 8, le kurtosis normalisé est . Généralisation Une généralisation de la loi de Fisher est la loi de Fisher non centrée. Distributions associées et propriétés Si alors est distribuée selon une loi du χ² ; La loi est équivalente à la loi T² de Hotelling ; Si