Kurtosis

dans ce qui suit : Graphique n° 4 : Distribution de la perte du portefeuille immobilier 32000 28000 24000 20000 16000 12000 8000 4000 0 0 500000 1000000 Series: IMP Sample 1 29913 Observations 29902 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability 1343.418 0.000000 1280502. 0.000000 17820.45 40.65398 2180.615 5.92e+09 0.000000 Nous remarquons que la distribution de la variable « impayé » concentrée à gauche. est asymétrique, plutôt Considérons, la nouvelle

comme : le test de significativité individuelle (test de Student) et le test de significativité globale (test de Fisher). Donc la normalité des erreurs doit être vérifiée. Le test de Jarque et Bera, fondé sur la notion de Skewness (asymétrie) et de Kurtosis (applatissement), est réalisé ici : i) Hypothèses : H0 : β11/2 =0 et β2=3 (Normalité) H1 : β11/2 ≠0 et β2≠3 (Non normalité) où β11/2 est le coefficient d’asymétrie et β2 le coefficient d’applatissement. ii) Statistique de Jarque et Bera :

En complément de l’étude de la tendance centrale et de la dispersion, il est intéressant de repérer la forme (déjà mise en évidence par une représentation graphique) par des mesures de son asymétrie (en anglais, skewness) et de son aplatissement (kurtosis). La symétrie est un concept important pour plusieurs raisons. Tout d’abord, la définition de la tendance centrale est sans ambiguité pour une distribution symétrique puisque pour une telle distribution, la médiane est égale à la moyenne et à ( x

variance aux réalisations antérieures. Test de Jarque-Bera L’hypothèse H0 de ce test est la normalité des résidus sous la statistique suivante : Avec : n le nombre d’observations ; k le nombre de variables ; S le coefficient d’asymétrie : K est le kurtosis : ; . 3.2 Projection des résidus et test des corrélations entre les différents modèles. Dans tous les modèles de diffusion stochastique précédemment cités, leur volatilité est supposée déterministe et elle est déterminée par une régression linéaire

coefficients nous permet de détecter les différentes caractéristiques de cette distribution : Statistique Formule Valeur 3 Coefficient d'asymétrie (Skewness) 1 . = n ∑ [x ∑ [x - E ( x )] σ 3 0.89 Coefficient d'aplatissement (Kurtosis) 1 = . n - E (x )]4 σ 4 -0.12 Tableau 5.11 - Moments d’ordre trois et quatre de la distribution de pertes La valeur du Skewness, étant positive, confirme le caractère asymétrique de la distribution (la courbe est plutôt étalée

 3.549617 |  10.06019 |  11.32637 |  0.176995 | -0.297059 |  9.709842 |  Std. Dev. |  0.398400 |  0.692953 |  0.622303 |  0.228269 |  0.274676 |  0.718117 |  Skewness |  0.281521 |  0.053649 | -0.437015 |  0.284989 |  0.188658 | -0.232851 |  Kurtosis |  1.685770 |  2.260287 |  2.182495 |  2.652502 |  2.215447 |  2.296111 | | | | | | | |  Jarque-Bera |  2.555272 |  0.698359 |  1.790303 |  0.557038 |  0.947362 |  0.890422 |  Probability |  0.278695 |  0.705266 |  0.408546 |  0.756904

histogramme symétrique so us forme de cloche dont les proportions types sont: la symétrie mesurée par le coefficient d'asymétrie de Skewness dont la marge de tolérance est comprise entre -0,5 et 0,5 et l'aplatissement mesuré par le coefficient de Kurtosis dont la marge de tolérance est comprise entre -1 et 1 (Daghfous, 2006, p.31 ). Tableau 4.7 :Les moyennes et la distribution des variables Val"iable Moyenne Skew ness IŒrtosis Normalité Confiance envers banque 4,8/7 -0,445 -0,579 Ok Confiance

6 -1,8 1,8 3,7 hors zone critique Processus 237 243 40,7 -6,5 6,5 12,5 hors zone critique Fraude 18 13,5 2,4 2,9 2,9 3,0 hors zone critique Système 16 17 3,0 -0,6 0,6 3,4 hors zone critique 5 Correspond à un coefficient d’aplatissement (ou Kurtosis) >3 Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance 101 / 180 Centre d’Études Actuarielles Test du nombre de points de retournement : Client R E(R) V(R) R-E(R)-1/2 c'=sigma(R)*N(0,1) c=c'+E(R)+1/2 Test 21 26 7,1 -5,5 -4,4 22,1 zone

numériques. Le tableau suivant (figure 5.11) donne les éléments le plus souvent utilisés pour les caractériser. 174 © Éditions d’Organisation Étape 3 – Analyser Figure 5.11 – Caractérisations les plus communes Numérique Graphique Forme Skewness Kurtosis Boîte à moustaches Histogramme Diagramme des probabilités Position Moyenne Médiane Boîte à moustaches Histogramme Diagramme de corrélation Étendue Écart type Variance Inter-percentile Boîte à moustaches Histogramme Dispersion Figure 5.12

numériques. Le tableau suivant (figure 5.11) donne les éléments le plus souvent utilisés pour les caractériser. 174 © Éditions d’Organisation Étape 3 – Analyser Figure 5.11 – Caractérisations les plus communes Numérique Forme Skewness Kurtosis Moyenne Médiane Étendue Écart type Variance Inter-percentile Graphique Boîte à moustaches Histogramme Diagramme des probabilités Boîte à moustaches Histogramme Diagramme de corrélation Boîte à moustaches Histogramme Position Dispersion Figure