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L’investissement net est donc ˙ K = I − µK = S − µK = sY − µK La fonction de production Y = F (K, L) est à rendements constants. En variables par tête, elle prend la forme y = f (k) Ceci permet d’exprimer le taux d’intérêt réel et le salaire réel sous la forme suivante r = f 0 (k) − µ, w = f (k) − kf 0 (k) L’équation dynamique devient ˙ k = sf (k) − µk − nk L’intensité capitalistique tend vers le point stationnaire k ∗ tel que f (k ∗ ) µ+n = ∗ k s L’intensité capitalistique de long terme k ∗ croît avec le taux

naturels. Le corps des nombres réels est noté R et celui des nombres complexes est noté C. Par ailleurs, K désignera soit R, soit C. Enfin, on dira d’une suite à valeurs dans K qu’elle est une suite numérique. 1. Généralités 1.1 Définitions Définition 1 Soit (an ) une suite à valeurs dans K. La série (numérique) de terme général an , notée an , est la suite (Sn ), où n ∀n ∈ N Sn = k=0 ak . Dans ce contexte, pour tout entier naturel n, on dit que Sn est la ne somme partielle (ou la

l'espace et k un réel non nul. On appelle homothesie de centre O et de rapport k la transformation qui a tout point M de l'espace associe le point M' tel que =k on note hok ou egalement k(M)=M' exemple transformé de M par ho,2 puis par h'o,- soit M'=ho,2(M) =2 et M''=h'o,1/2(M) OM''=-1/2OM 2/ proprietes si M' est l'image de M par ho,k alors O,Met M' sont alignées si Met N sont deux points de l'espace et si Met N' sont leur s images respectives par ho;k alors = k demonstration

dt dt horizontale. dvx = 0 . Par intégration directe : vx(t)=K1x où K1x est une constante. dt Détermination de la constante : v0x=vx(0)=v0⋅cos(α). Donc vx(t)=v0⋅cos(α). dx Alors = v0 ⋅ cos(α ) qui par intégration donne x(t ) = v0 ⋅ cos(α ) ⋅ t + K 2 x . Les conditions initiales dt permettent d’écrire x(t ) = v0 ⋅ cos(α ) ⋅ t (1). Ce qui permet d’écrire 2. Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et intégrales : Remarque : on utilise ici un logiciel de calcul formel bien

magiques). • Je me donne comme défi de faire mieux que la fois précédente, d'obtenir un meilleur résultat. K K K K K K K K K K Rarement Utilisez les énoncés suivants pour évaluer votre sentiment de compétence aux études supérieures. Toute évaluation faible indique une attitude, une habileté ou une habitude qu'il me serait peut-être bénéfique de développer. K K K K K K K K K K Développer mes compétences pour les études Il n’y a pas de limite à ma capacité de progresser dans ma manière

correctement? n illustration 1 i j k l m 1 / 21 n illustration 2 j k l m n illustration 3 j k l m Solution : illustration 1 Tous les occupants doivent porter la ceinture et les enfants dont la taille est inférieure à 63 cm en position assise, mesurée du siège au sommet du crâne, doivent être retenus par un dispositif de sécurité. Quel est l'avantage du feu de freinage surélevé? 2 / 21 i Prévenir des ralentissements et des arrêts de j k l m n véhicule. j Permettre

par pn (x) = n! Z + =2 et on s'intéresse à l'intégrale In = pn (x) cos x dx: =2 2 n 4 x2 Lemme Pour tout nombre réel K > 0; Kn = 0: n!+1 n! lim En effet, si on pose un = La suite (un )n K Kn K pour tout entier n 0; alors (8n K) 0 < un+1 = u n < un . n! n+1 est décroissante et minorée par 0. Elle converge donc vers une limite réelle l véri ant K l = lim un = lim un+1 = lim un = 0: n!+1 n!+1 n!+1 n + 1 Encadrement de In h i 8x 2 ;+ 2 2 2 2 0 4 x2 In 4 1 n

Gauss  ai ,k i > k , Ligne i −  a  k ,k n3 L'algorithme à une complexité en . 3 À la kème étape : pour  a  Ligne k . On pose l i ,k = i , k .  a k ,k  Le problème des coefficients diagonaux nuls : il faut permuter les lignes lorsque apparaît un zéro sur la diagonale. Stratégie du pivot maximum partiel : On permute la kème ligne et la ième ligne avec i tel que ai , k = Sup al ,k . Pour des raisons de stabilité l ≥k numérique, on divise par le terme de la colonne k, qui a la plus

Le calcul matriciel Dans tout ce cours, - K désigne ou . - i,j = 1 si i = j ou 0 si i ≠ j (symbole de Kronecker) I) Espaces vectoriels Mn,p(K) 1) Rappel • A = (ai , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p B = (bi , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p A + B = (ai , j ) + (bi , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ λ A = (λ ai , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p j ≤ p 2) Matrices particulières • Une matrice carrée de format (n,n) est notée : Mn(K) • La matrice nulle de format (n,p) est notée : 0(n,p) = (ai,j) avec ai,j = 0 pour tout