Le K

4 © CFPB 09206112801df8e5 [112] 092061128024e25f V2.11 Important : k€ = milliers d’€ 1. Documents relatifs à la direction de région ALPHA 1.1. Tableaux de gestion retraçant l’évolution du Produit Net Bancaire (PNB), de ses composantes, et les encours emplois-ressources (5 tableaux) Encours Emplois-Ressources et Marge d'intérêts DR Rubrique Comptes débiteurs Unité N-2 Cpx moyens (K€) Marge (K€) Tx de marge (%) 20000 586 2,93 15000 -380 -2,53 21000 2205 10,50 130000 3081 2

tout d’abord l’ordre k auquel il est n´cessaire d’effectuer e le d´veloppement limit´ de sin t : e e 1 1 − t sin t = = 1 1 1 1 − = 1− t t DLk−1 t DLk−1 1 1 (1 − DLk−1 ) = DLk−1 = DAk−2 t t ϕ (0) = − 1 6 (b) D’apr`s les th´or`mes usuels, ϕ est de classe C 1 sur [−π/2, π/2] \ {0}. D’apr`s la e e e e question pr´c´dente, ϕ est continue et d´rivable en 0. Il reste ` montrer que ϕ est e e e a continue en 0. Or : π π ∀t ∈ − , \ {0} 2 2 ϕ (t) = − 1 cos t + t2 sin2 t e e e Donc k − 2 = 4. Il est donc

= {x : x ( t ) = k=1 ∑ ck e iω k t N ∈ IN, c k ∈ C, ω k ∈ IR distincts } I l’ensemble des polynômes trigonométriques (élargi par rapport à celui utilisé dans les séries de Fourier : ici les fréquences sont quelconques). Montrer que P est stable par produit de fonctions, et que l’application ( x, y ) a définit un produit scalaire sur P . En particulier, pour x = I.H - Soit une suite x n ∈ I.H.1) I.H.2) k=1 ∑ ck eω N , établir que M x k 2 = k=1 ∑ N ck .

L’espérance de X est E(X) = np ; la variance de X est V(X) = np (1 − p). n De plus, pour tout entier k (0 ≤ k ≤ n), on a : P(X = k) =   p k (1 − p ) n−k . k    S Coefficients binomiaux On représente à l’aide d’un arbre un schéma de n épreuves de Bernoulli (n ∈ * ). n Pour tout entier k (0 ≤ k ≤ n), le nombre de chemins réalisant k succès est noté   (lire « k parmi n »). k    0 Par convention, on pose   = 1 . Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux. 0

endomorphisme/matrice Dans ce chapitre, on note RK  ou CK  . Pour )(, KN nMn   désigne l’ensemble des matrices carrées de type nn à coefficients dans K I. Matrice diagonale, valeur propre/vecteur propre associé à un endomorphisme/matrice Définition (matrice diagonale) Soit )(KnMA . On dit que A est une matrice diagonale K n ,,, 21  , tel que                n A    00 0 0 00 2 1     Exemples                100 0 10 001   

1 M´thodes it´ratives pour la r´solution d’un e e e syst`me lin´aire e e Dans cette partie, on s’int´resse essentiellement ` la r´solution, e a e par des m´thodes it´ratives, d’un syst`me lin´aire e e e e Ax = b avec A ∈ Mn (K) inversible et b ∈ K n . Notons que la r´solution d’un tel syst`me par des m´thodes e e e directes (Gauss, factorisation LU , Cholesky, ...) a ´t´ vue en ee ANI et la r´solution par la m´thode de Householder est donn´e e e e au chapitre 5. Concernant les m´thodes it´ratives

0, ......., 0,........) e2 = (0, 0, 1, 0, 0, ......., 0,........) De façon générale : en = (e n )k∈ où e n =  kn  0 si k  n. k k  1 si k  n. La famille des (ei)i∈ est une famille génératrice de S (A). En particulier, si a∈S 0 (A), cette somme est finie et a est une C.L. des (ei)i∈. On a donc, pour tout a∈S (A), si a = (an)n∈, alors a = a0e0 + a1e1 + a2e2 +....+ anen +...  ¨ a k e k . k=0 +∞ Définition Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. Soient a,b∈S 0 (A). On définit une

trigonom´triques ´l´mentaires e e ee L’´quation trigonom´trique ´l´mentaire cos x = cos α, o` α ∈ R est une e e ee u constante, admet pour solution : x = α + 2kπ, k ∈ Z ou x = −α + 2kπ, k ∈ Z L’´quation trigonom´trique ´l´mentaire sin x = sin α, o` α ∈ R est une e e ee u constante, admet pour solution : x = α + 2kπ, k ∈ Z ou x = π − α + 2kπ, k ∈ Z 3 Attention ! Une fois obtenues les solutions d’une ´quation trigonom´trique ´l´mentaire, e e ee il faut v´rifier que l’´criture des solutions n’est

pour conclure qu’il n’y aura pas d’autres éléments, il suffit de montrer que K = {1, a, b, ab, ba, b2 } est un sous groupe de G, à l’aide d’une table de multiplication. 1 1 a b b2 ab ba a a 1 ba ab b2 b b b ab b2 1 ba a b2 b2 ba 1 b a ab ab ab b a ba 1 b2 ba ba b2 ab a b 1 L'anneaux Z/nZ K[X] Polynôme minimal Compléments 1 Sous groupes de Z Théorème 1 : Les sous groupes de Z sont de la forme nZ. c/c : H = K 1 a b b2 ab ba Exercice 1. Montrer que H est isomorphe à 3 Preuve

H F-XC A N GE H F-XC A N GE c u-tr a c k N O bu y to k lic ‫ ﻣﻮﻗﻊ ﻗﻠﻤﻲ‬...‫ ﺍﻣﺘﺤﺎﻧﺎﺕ‬،‫ ﻣﻠﺨﺼﺎﺕ‬،‫ﻟﻤﺰﻳﺪ ﻣﻦ ﺩﺭﻭﺱ‬ 2008/2009 .d o o .c m C m w o .d o w w w w w C lic k to bu y N O W ! PD W ! PD c u-tr a c k .c H F-XC A N GE H F-XC A N GE c u-tr a c k N y bu to k lic Chapitre 1 le narrateur . : égayer ma solitude. . . 6 . . . : . l'invisible la boîte à merveilles